同济高数 第6章 第6-2-7题
📝 题目
7．求由摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 的一拱 $(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与横轴所围成的图形的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要求由摆线一拱与横轴围成的图形面积。摆线参数方程为 $$ x = a(t - \sin t), \quad y = a(1 - \cos t), \quad 0 \le t \le 2\pi $$ 当 $t=0$ 时，$x=0$，$y=0$；当 $t=2\pi$ 时，$x=2\pi a$，$y=0$，因此横轴即 $y=0$ 的直线。
由参数方程求面积的公式：若曲线由参数方程 $x = x(t), y = y(t)$ 给出，且 $t$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$ 时曲线形成封闭图形，则面积为 $$ S = \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \, x'(t) \, dt $$ 这里 $y(t) \ge 0$，且曲线沿 $t$ 增加方向对应从左到右。
先求 $x'(t)$： $$ x'(t) = a(1 - \cos t) $$ 于是面积 $$ S = \int_{0}^{2\pi} a(1 - \cos t) \cdot a(1 - \cos t) \, dt = a^2 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \, dt $$
展开被积函数： $$ (1 - \cos t)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t $$ 而 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$，所以 $$ 1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} - 2\cos t + \frac{\cos 2t}{2} = \frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t $$
因此 $$ S = a^2 \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t \right) dt $$
逐项积分： $$ \int_{0}^{2\pi} \frac{3}{2} \, dt = \frac{3}{2} \cdot 2\pi = 3\pi $$ $$ \int_{0}^{2\pi} (-2\cos t) \, dt = -2 \left[ \sin t \right]_{0}^{2\pi} = 0 $$ $$ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\cos 2t \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \left[ \sin 2t \right]_{0}^{2\pi} = 0 $$
所以 $$ S = a^2 \cdot 3\pi = 3\pi a^2 $$
因此所求面积为 $3\pi a^2$。
难度：★★☆☆☆ （中等偏易，主要考察参数方程面积公式及简单三角积分）