同济高数 第6章 第6-3-1题
📝 题目
1．由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力 $F$（单位： N ）与伸长量 $s$（单位： cm ）成正比，即
$$ F=k s \quad(k \text { 是弹性系数 }) \text {. } $$
如果把弹簧由原长拉伸 6 cm ，计算所做的功．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**步骤1：建立功的微元模型** 由题意，弹簧的弹性系数为 $k$，力与伸长量成正比： $$ F(s) = k s $$ 当弹簧从原长（$s=0$）拉伸到 $s=6\,\text{cm}$ 时，考虑在伸长量为 $s$ 处再伸长一个微小量 $ds$，力 $F(s)$ 近似不变，则在此微小位移上所做的功为 $$ dW = F(s)\, ds = k s \, ds $$
**步骤2：积分求总功** 总功为所有微元功的累加，即对 $s$ 从 $0$ 到 $6$ 积分： $$ W = \int_{0}^{6} k s \, ds $$ 计算定积分： $$ W = k \cdot \left[ \frac{1}{2}s^{2} \right]_{0}^{6} = k \cdot \frac{1}{2} (6^{2} - 0^{2}) = \frac{36k}{2} = 18k $$
**步骤3：明确单位** 这里 $s$ 的单位是 cm，若转换为标准国际单位制，应使用米（m），但题目中伸长量给的是 cm，且 $k$ 的单位相应为 N/cm，则功的单位为 N·cm。若需换算为焦耳，可再乘以 $10^{-2}$，但题目未要求，故保留为： $$ \boxed{W = 18k \ \text{(N·cm)}} $$
**难度评级**：★☆☆☆☆ （直接应用功的积分定义，仅需一次简单定积分，无复杂技巧。）