同济高数 第6章 第6-3-3题
📝 题目
3．（1）证明：把质量为 $m$ 的物体从地球表面升高到 $h$ 处所做的功是
$$ W=\frac{m g R h}{R+h}, $$
其中 $g$ 是重力加速度，$R$ 是地球的半径； （2）一颗人造地球卫星的质量为 173 kg ，在高于地面 630 km 处进人轨道．问把这颗卫星从地面送到 630 km 的高空处，克服地球引力要做多少功？已知 $g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ ，地球半径 $R=6370 \mathrm{~km}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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（1）证明：
设地球质量为 $M$，物体质量为 $m$，地球半径为 $R$。根据万有引力定律，物体距地心距离为 $r$ 时，所受地球引力大小为 $$ F(r) = G\frac{Mm}{r^2}, $$ 其中 $G$ 为万有引力常数。
在地球表面，重力加速度为 $g$，有 $$ mg = G\frac{Mm}{R^2} \quad\Rightarrow\quad GM = gR^2. $$ 因此引力可写为 $$ F(r) = \frac{mgR^2}{r^2}. $$
将物体从地面（$r=R$）升高到高度 $h$（$r=R+h$），克服引力所做的功为 $$ W = \int_{R}^{R+h} F(r)\,dr = \int_{R}^{R+h} \frac{mgR^2}{r^2}\,dr. $$
计算积分： $$ W = mgR^2 \int_{R}^{R+h} r^{-2}\,dr = mgR^2 \left[ -\frac{1}{r} \right]_{R}^{R+h} = mgR^2 \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right). $$
通分： $$ \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} = \frac{R+h - R}{R(R+h)} = \frac{h}{R(R+h)}. $$
因此 $$ W = mgR^2 \cdot \frac{h}{R(R+h)} = \frac{mgRh}{R+h}. $$
得证。
（2）计算：
已知： $$ m = 173\ \mathrm{kg},\quad g = 9.8\ \mathrm{m/s^2},\quad R = 6370\ \mathrm{km} = 6.37\times 10^6\ \mathrm{m},\quad h = 630\ \mathrm{km} = 6.3\times 10^5\ \mathrm{m}. $$
代入公式： $$ W = \frac{mgRh}{R+h} = \frac{173 \times 9.8 \times 6.37\times 10^6 \times 6.3\times 10^5}{6.37\times 10^6 + 6.3\times 10^5}. $$
先计算分母： $$ R+h = 6.37\times 10^6 + 0.63\times 10^6 = 7.00\times 10^6\ \mathrm{m}. $$
分子： $$ 173 \times 9.8 = 1695.4, $$ $$ 1695.4 \times 6.37\times 10^6 \approx 1.080\times 10^{10}, $$ $$ 1.080\times 10^{10} \times 6.3\times 10^5 = 6.804\times 10^{15}. $$
因此 $$ W = \frac{6.804\times 10^{15}}{7.00\times 10^6} \approx 9.72\times 10^{8}\ \mathrm{J}. $$
答：克服地球引力做功约为 $9.72\times 10^{8}$ 焦耳。
难度：★★☆☆☆