同济高数 第7章 第7-2-5题
📝 题目
5．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量 $R$ 成正比．由经验材料得知，镭经过 1600 年后，只余原始量 $R_{0}$ 的一半．试求镭的现存量 $R$ 与时间 $t$ 的函数关系．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设镭的现存量为 $ R(t) $，其中 $ t $ 表示时间（单位：年）。由题意，镭的衰变速度即 $\frac{dR}{dt}$ 与现存量 $ R $ 成正比，且由于是衰变减少，故有负号：
$$ \frac{dR}{dt} = -kR $$ 其中 $k>0$ 为比例常数。
这是一个可分离变量的一阶微分方程，将其改写为：
$$ \frac{dR}{R} = -k\,dt $$
两边积分：
$$ \int \frac{1}{R}\,dR = \int -k\,dt $$
得到：
$$ \ln|R| = -kt + C $$
由于 $R>0$，去掉绝对值，并令 $C = \ln R_0$（其中 $R_0$ 为初始时刻的镭量），则：
$$ \ln R = -kt + \ln R_0 $$
即：
$$ R(t) = R_0 e^{-kt} $$
现在利用已知条件确定 $k$：经过1600年后，剩余量为原始量的一半，即：
$$ R(1600) = \frac{R_0}{2} $$
代入得：
$$ R_0 e^{-1600k} = \frac{R_0}{2} $$
两边约去 $R_0$（$R_0>0$）：
$$ e^{-1600k} = \frac{1}{2} $$
取自然对数：
$$ -1600k = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2 $$
所以：
$$ k = \frac{\ln 2}{1600} $$
因此，镭的现存量与时间的函数关系为：
$$ \boxed{R(t) = R_0 e^{-\frac{\ln 2}{1600}\,t}} $$
也可以写作：
$$ R(t) = R_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1600}} $$
难度：★☆☆☆☆ （该题仅涉及一阶可分离变量微分方程的标准解法，步骤简单，计算直接。）