同济高数 第7章 第7-2-6题
📝 题目
6．一曲线通过点 $(2,3)$ ，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设曲线方程为 $y = y(x)$，其上任意一点为 $P(x, y)$，过该点的切线方程为 $$ Y - y = y'(x)(X - x). $$ 该切线与 $x$ 轴交点为 $A$，与 $y$ 轴交点为 $B$。 令 $Y = 0$，得 $$ 0 - y = y'(x)(X - x) \quad\Rightarrow\quad X = x - \frac{y}{y'(x)}. $$ 所以 $A\left(x - \dfrac{y}{y'(x)},\,0\right)$。 令 $X = 0$，得 $$ Y - y = y'(x)(0 - x) \quad\Rightarrow\quad Y = y - x\,y'(x). $$ 所以 $B\left(0,\, y - x\,y'(x)\right)$。
已知切点 $P(x, y)$ 平分线段 $AB$，即 $P$ 是 $A$ 与 $B$ 的中点。 由中点坐标公式： $$ x = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y = \frac{y_A + y_B}{2}. $$ 代入坐标： $$ x = \frac{\left(x - \frac{y}{y'}\right) + 0}{2}, \quad y = \frac{0 + \left(y - x y'\right)}{2}. $$
由第一个方程： $$ x = \frac{1}{2}\left(x - \frac{y}{y'}\right) \quad\Rightarrow\quad 2x = x - \frac{y}{y'} \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{y}{y'}. $$ 即 $$ y' = -\frac{y}{x}. $$
由第二个方程： $$ y = \frac{1}{2}\left(y - x y'\right) \quad\Rightarrow\quad 2y = y - x y' \quad\Rightarrow\quad y = -x y'. $$ 同样得到 $$ y' = -\frac{y}{x}. $$
所以微分方程为 $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}. $$ 分离变量： $$ \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}. $$ 积分得 $$ \ln|y| = -\ln|x| + C \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = \ln\left|\frac{1}{x}\right| + C. $$ 即 $$ |y| = \frac{e^C}{|x|} \quad\Rightarrow\quad y = \frac{k}{x}, $$ 其中 $k = \pm e^C$ 为常数。
曲线经过点 $(2,3)$，代入得 $$ 3 = \frac{k}{2} \quad\Rightarrow\quad k = 6. $$ 因此曲线方程为 $$ \boxed{y = \frac{6}{x}}. $$
难度：★★☆☆☆