第19章 函数序列与函数级数

例 4 在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上,考察函数序列 $$ {g}_{n}\left( x\right) = \frac{nx}{1 + {n}^{2}{x}^{2}},\;n = 1,2,\cdots . $$ 容易看出, 极限函数为 $$ g\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{g}_{n}\left( x\right) = 0,\;x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack . $$ 但对于 $\varepsilon \in \left( {0,\frac{1}{2}}\right)$ ,不论 $n$ 怎样大,总存在 $$ {x}_{n} = \frac{1}{n} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack , $$ 使得 $$ \left| {{g}_{n}\left( {x}_{n}\right) - g\left( {x}_{n}\right) }\right| = \frac{1}{2} > \varepsilon , $$ 所以函数序列 $\left\{ {{g}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上不是一致收敛的 (参看图 19-6). 定理 1 设函数序列 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 在集合 $E$ 上逐点收敛于函数 $f\left( x\right)$ . 我们记 $$ d\left( {{f}_{n},f}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in E}}\left| {{f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| . $$ 则以下三项陈述互相等价: \begin{center} \end{center} \hspace*{3em} 图 19-6 (1) $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 一致收敛于 $f\left( x\right)$ ; (2) $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}d\left( {{f}_{n},f}\right) = 0$ ; (3)对任何序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset E$ 都有 $$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left( {{f}_{n}\left( {x}_{n}\right) - f\left( {x}_{n}\right) }\right) = 0. $$

例 6 考察函数序列 $$ {f}_{n}\left( x\right) = 2{n}^{2}x{\mathrm{e}}^{-{n}^{2}{x}^{2}},\;n = 1,2,\cdots . $$ 这函数序列在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上逐点收敛于函数 $$ f\left( x\right) = 0. $$ 但我们有 $$ {f}_{n}\left( \frac{1}{n}\right) - f\left( \frac{1}{n}\right) = {2n}{\mathrm{e}}^{-1} \rightarrow + \infty . $$ 因而这函数序列在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上不一致收敛. 利用下面的柯西原理,无须事先求出极限函数,就能判别一个函数序列是否一致收敛. 定理 2 (一致收敛的柯西原理) 设函数序列 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 的各项在集合 $E$ 上有定义. 则这序列在 $E$ 上一致收敛于某极限函数的充要条件是: 对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N = N\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $m,n > N$ ,就有 $$ \left| {{f}_{m}\left( x\right) - {f}_{n}\left( x\right) }\right| < \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$

例 7 设函数序列 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 在 $E$ 上一致收敛,而函数 $\varphi \left( x\right)$ 在 $E$ 上有界. 则函数序列 $\left\{ {\varphi \left( x\right) {f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 也在 $E$ 上一致收敛. 事实上, 设 $$ \left| {\varphi \left( x\right) }\right| \leq M,\;\forall x \in E, $$ 则有 $$ \left| {\varphi \left( x\right) {f}_{m}\left( x\right) - \varphi \left( x\right) {f}_{n}\left( x\right) }\right| \leq M\left| {{f}_{m}\left( x\right) - {f}_{n}\left( x\right) }\right| ,\;\forall x \in E. $$ 定理 2 (一致收敛的柯西原理——级数形式) 设函数级数 $\displaystyle \sum {u}_{n}\left( x\right)$ 的每一项都在集合 $E$ 上有定义,则这级数在 $E$ 上一致收敛的充要条件是: 对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N = N\left( \varepsilon \right) \in$ $\mathbb{N}$ ,使得只要 $n > N,p \in \mathbb{N}$ ,就有 $$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{u}_{k}\left( x\right) }\right| < \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$ 推论 如果函数级数 $\displaystyle \sum \left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right|$ 在集合 $E$ 上一致收敛,那么函数级数 $\displaystyle \sum {u}_{n}\left( x\right)$ 也在集合 $E$ 上一致收敛. 下面介绍关于函数级数一致收敛性的一些常用的判别法. 定理 3 (魏尔斯特拉斯判别法) 设函数级数 $\displaystyle \sum {u}_{n}\left( x\right)$ 的各项在集合 $E$ 上有定义. 如果存在收敛的数项级数 $\displaystyle{\sum {M}_{n}}$ ,使得 $$ \left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right| \leq {M}_{n},\;\forall x \in E, $$ $$ n = 1,2,\cdots , $$ 那么函数级数 $\displaystyle \sum {u}_{n}\left( x\right)$ 在集合 $E$ 上一致收敛.

例 8 设数项级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 绝对收敛. 我们来考察两个函数级数 $$ \sum {a}_{n}\cos {nx}\text{ 和 }\sum {a}_{n}\sin {nx}. $$ 因为 $$ \left| {{a}_{n}\cos {nx}}\right| \leq \left| {a}_{n}\right| ,\;\left| {{a}_{n}\sin {nx}}\right| \leq \left| {a}_{n}\right| , $$ 所以 $\displaystyle{\sum \left| {a}_{n}\right|}$ 是两函数级数的优级数. 根据魏尔斯特拉斯判别法,我们断定: 两函数级数 (在任何集合 $E \subset \mathbb{R}$ 上) 都是一致收敛的. 魏尔斯特拉斯判别法只适用于判别绝对一致收敛的函数级数. 关于条件收敛级数的一致收敛性, 有以下的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法. 定理 4 (狄利克雷判别法) 我们来考察这样的函数级数 $$ \sum {a}_{n}\left( x\right) {b}_{n}\left( x\right) ,\;x \in E. $$ 如果 (1)序列 $\left\{ {{a}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 对每一取定的 $x \in E$ 都是单调的,并且该函数序列在 $E$ 上一致地趋于 0 ; (2)函数级数 $\displaystyle \sum {b}_{n}\left( x\right)$ 的部分和序列在 $E$ 上一致有界: $$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{b}_{k}\left( x\right) }\right| \leq L,\;\forall n \in \mathbb{N},x \in E, $$ 那么级数 $\displaystyle \sum {a}_{n}\left( x\right) {b}_{n}\left( x\right)$ 在 $E$ 上一致收敛.

例 1 对于 $K = \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 的情形, $\mathcal{C}\left( K\right) = \mathcal{C}\left( \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \right)$ 由所有的在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续的函数组成. 如果用 $\mathcal{P}$ 表示定义于 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上的多项式函数的集合, 那么显然有 $$ \mathcal{P} \subset \mathcal{C}\left( \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \right) . $$ 一个函数 $f \in \mathcal{C}\left( \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \right)$ 能用多项式一致逼近,其充要条件是 $f \in \mathcal{A}$ 于是, 魏尔斯特拉斯逼近定理可以表述为 $$ \overline{\mathcal{P}} = \mathcal{C}\left( \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \right) . $$ 以下,我们仍用 $K$ 表示距离空间中的一个紧致集. 引理 7 如果 $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 的一个子代数,那么 $\overline{\mathcal{A}}$ 也是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 的子代数.

例 2 设 $K = \left\{ {\left( {x,y}\right) \in {\mathbb{R}}^{2} \mid {x}^{2} + {y}^{2} = 1}\right\}$ . 我们把 $\varphi \in \mathcal{C}\left( K\right)$ 叫作奇函数, 如果它满足条件 $$ \varphi \left( {-x, - y}\right) = - \varphi \left( {x,y}\right) ,\;\forall \left( {x,y}\right) \in K. $$ 类似地,我们把 $\psi \in \mathcal{C}\left( K\right)$ 叫作偶函数,如果它满足条件 $$ \psi \left( {-x, - y}\right) = \psi \left( {x,y}\right) ,\;\forall \left( {x,y}\right) \in K. $$ 如果分别用 ${\mathcal{E}}_{1}$ 和 ${\mathcal{E}}_{2}$ 表示 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 中的全体奇函数的集合和全体偶函数的集合,那么 ${\mathcal{E}}_{1}$ 能区分 $K$ 中的点而 ${\mathcal{E}}_{2}$ 不能. 事实上, ${\mathcal{E}}_{1}$ 中的两个函数 $$ f\left( {x,y}\right) = x\text{ 和 }g\left( {x,y}\right) = y $$ 已足以区分 $K$ 中任意两点; 而 ${\mathcal{E}}_{2}$ 中的任何函数都不能区分 $K$ 中如下两个点: $$ \left( {1,0}\right) \text{ 和 }\left( {-1,0}\right) \text{ . } $$ 引理 10 设 $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 的子代数, $1 \in \mathcal{A}$ . 如果 $\mathcal{A}$ 能区分 $K$ 中的点,那么对任意 $a,b \in K,a \neq b$ 和 $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ ,存在 $\varphi \in \mathcal{A}$ ,满足条件 $$ \varphi \left( a\right) = \alpha ,\;\varphi \left( b\right) = \beta . $$