新讲 第7章 微分方程初步 第5题

教材习题

📝 题目

例 5(气压公式)我们来考察大气压强随海拔高度的变化. 首先,依据物理学中的玻意耳-马略特定律,在温度不变的条件下,一定质量气体的体积与压强成反比:

$$ {pV} = c\text{ (常数). } $$

由此得知,气体的比重 $\rho$ 应与压强 $p$ 成正比

$$ \rho = {kp}. $$

其次,我们来考察高度 $h$ 到高度 $h + {\Delta h}$ 之间的一个薄柱体 (设柱体的底面积为 $\sigma$ ). 这柱体中气体的重量应该为柱体下底与上底所受大气压力之差所平衡,因而有

$$ p\left( h\right) \sigma - p\left( {h + {\Delta h}}\right) \sigma = {\rho \sigma \Delta h}, $$

也就是

$$ {\Delta p} = - {\rho \Delta h}. $$

这式两边除以 ${\Delta h}$ 并且过渡到极限就得到

$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{\;d}h} = - \rho . $$

再利用比重 $\rho$ 与压强 $p$ 成正比的事实,我们得到微分方程

$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{\;d}h} = - {kp}. $$

💡 答案解析

解该方程得

$$ p = C{\mathrm{e}}^{-{kh}}. $$

这里的常数 $C$ 有明确的物理意义——它是海平面高度上的大气压强:

$$ C = {\left. p\right| }_{h = 0}\text{ . } $$

我们把 $C$ 记为 ${p}_{0}$ ,于是气压公式可以写成

$$ p = {p}_{0}{\mathrm{e}}^{-{kh}}. $$

由该公式得到

$$ h = \frac{1}{k}\ln \frac{{p}_{0}}{p}. $$

这就是说, 我们可以利用气压计来测高度. 根据该原理, 人们制造了轻巧便利的简易高度计. 当然, 影响气压的条件很多, 除了海拔高度外, 还有温度、湿度等气象因素. 因而利用气压计来测高度, 只能得到比较粗略的结果.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：建立压强与高度的微分方程
根据玻意耳-马略特定律，在温度不变的条件下，一定质量气体的体积与压强成反比，即 pV = c（常数）。由此推出气体的比重 ρ 与压强 p 成正比：ρ = kp。考虑高度 h 到 h+Δh 之间的薄柱体，底面积为 σ，柱体中气体的重量为 ρσΔh，由上下底面大气压力差平衡：p(h)σ - p(h+Δh)σ = ρσΔh，即 Δp = -ρΔh。两边除以 Δh 并取极限得 dp/dh = -ρ。代入 ρ = kp 得到微分方程 dp/dh = -kp。
公式：dp/dh = -kp
提示：注意负号表示压强随高度增加而减小。
步骤 2/4
目标：求解微分方程
分离变量：dp/p = -k dh。两边积分：∫ dp/p = -k ∫ dh，得 ln|p| = -kh + C₁，即 p = e^{-kh + C₁} = e^{C₁} e^{-kh}。令 C = e^{C₁}，则 p = C e^{-kh}。
公式：p = C e^{-kh}
提示：积分常数 C 由初始条件确定。
步骤 3/4
目标：确定常数并得到气压公式
当 h=0 时，p = p₀（海平面大气压强），代入 p = C e^{-kh} 得 p₀ = C e⁰ = C，所以 C = p₀。因此气压公式为 p = p₀ e^{-kh}。
公式：p = p₀ e^{-kh}
提示：p₀ 是海平面处的标准大气压。
步骤 4/4
目标：推导高度与压强的关系
由 p = p₀ e^{-kh} 两边取自然对数：ln(p/p₀) = -kh，解得 h = (1/k) ln(p₀/p)。
公式：h = (1/k) ln(p₀/p)
提示：该公式可用于通过气压测量高度，但需注意实际条件的影响。

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