新讲 第7章 微分方程初步 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 放射性物质衰变的速度 $- \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{\;d}t}$ 正比于该物质的质量 $m$ ,即

$$ \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{\;d}t} = - {km}. $$

💡 答案解析

解该方程得到

$$ m = {m}_{0}{\mathrm{e}}^{-{kt}}. $$

放射性元素衰减到初始质量的一半所花费的时间 $T$ 称为该元素的半衰期. 根据定义,半衰期 $T$ 应满足

$$ {m}_{0}/2 = {m}_{0}{\mathrm{e}}^{-{kT}}, $$

即

$$ {kT} = \ln 2. $$

人们已经测知了许多种放射性元素的半衰期. 知道了半衰期 $T$ 之后, 从等式

$$ k = \frac{1}{T}\ln 2 $$

就可求得该元素的衰变系数 $k$ .

上述讨论虽然简单,却有很重要的应用. 在地质学、古生物学和考古学中, 人们可以据此测算地球的年龄、地层或化石的年代等. 一种利用放射性碳测定古生物化石年代的方法取得了巨大的成功. 宇宙线里的中子冲击高层大气中的氮原子产生了一种具有放射性的碳的同位素, 其半衰期已测定为 5600 年. 这种放射性碳经氧化成为二氧化碳,与气流中的无放射性的二氧化碳混在一起. 因为放射性碳不断产生又不断衰变为氮,它在大气中早已达到动态平衡. 所以大气中的放射性碳与普通碳有确定的比. 地球上的植物按同样的比例把碳吸收到自己的组织中. 食草动物和食肉动物又相继通过食物链按同样的比例把碳吸收到自己体内. 当生物活着的时候, 这比例基本上保持不变. 生物死了以后, 当然就不再吸入新的放射性碳. 体内存的放射性碳在漫长的岁月里不断衰变而减少. 因此, 如果一段树木化石的放射性为活树的一半, 那么这树大约生存于 5600 年以前. 如果其放射性为活树的 $1/4$ ,那么它大约生存于 11200 年以前. 发现放射性碳并研究出利用其放射性测定古生物化石年代的方法是威拉得 - 利比 (Willard Libby) 的功劳. 他由于这一项杰出的工作而获得了 1960 年的诺贝尔化学奖.

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：建立微分方程
根据题意，放射性物质衰变速度与质量成正比，即 -dm/dt = km，其中k>0为衰变系数。
公式：-dm/dt = km
提示：注意负号表示质量随时间减少。
步骤 2/5
目标：求解微分方程
分离变量得 dm/m = -k dt，两边积分得 ln|m| = -kt + C，取指数得 m = e^C e^{-kt}，记初始质量m(0)=m0，则m0 = e^C，故 m = m0 e^{-kt}。
公式：m = m0 e^{-kt}
提示：积分常数由初始条件确定。
步骤 3/5
目标：定义半衰期
半衰期T是质量衰减到一半所需时间，即 m(T) = m0/2。代入解得 m0/2 = m0 e^{-kT}，消去m0得 1/2 = e^{-kT}。
公式：m0/2 = m0 e^{-kT}
提示：半衰期与初始质量无关。
步骤 4/5
目标：求解半衰期与衰变系数的关系
对 1/2 = e^{-kT} 两边取自然对数得 ln(1/2) = -kT，即 -ln2 = -kT，所以 kT = ln2，即 k = (ln2)/T。
公式：kT = ln2
提示：ln(1/2) = -ln2。
步骤 5/5
目标：应用：放射性碳定年法
已知放射性碳半衰期T=5600年，若化石放射性为活树的1/2，则年龄为5600年；若为1/4，则年龄为11200年。一般地，若放射性比例为p，则年龄t满足 p = e^{-kt}，解得 t = - (ln p)/k = -T (ln p)/ln2。
公式：t = -T (ln p)/ln2
提示：p为当前放射性相对于活树的比例。

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