新讲 第8章 利用导数研究函数 第1题
📝 题目
例 1 试求 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}$ 的麦克劳林公式.
💡 答案解析
解 我们有
$$ {f}^{\left( k\right) }\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x},{f}^{\left( k\right) }\left( 0\right) = 1\;\left( {k = 0,1,\cdots ,n}\right) , $$
于是
$$ {\mathrm{e}}^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!}{x}^{2} + \cdots + \frac{1}{n!}{x}^{n} + o\left( {x}^{n}\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算f(x)=e^x的各阶导数
f(x)=e^x，求导得f'(x)=e^x，f''(x)=e^x，...，f^{(k)}(x)=e^x。
公式：f^{(k)}(x)=e^x
提示：指数函数的导数不变，这是关键性质。
步骤 2/3
目标：计算各阶导数在x=0处的值
代入x=0，得f^{(k)}(0)=e^0=1，k=0,1,...,n。
公式：f^{(k)}(0)=1
提示：注意f^{(0)}(0)=f(0)=1。
步骤 3/3
目标：写出麦克劳林公式
根据麦克劳林公式，f(x)=∑_{k=0}^n f^{(k)}(0)/k! x^k + o(x^n)，代入得e^x=1 + x + x^2/2! + ... + x^n/n! + o(x^n)。
公式：e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n + o(x^n)
提示：余项为佩亚诺余项o(x^n)。
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