新讲 第8章 利用导数研究函数 第10题
📝 题目
例 10 求 $\displaystyle \lim {n}^{2}\left( {1 - n\sin \frac{1}{n}}\right)$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ \lim {n}^{2}\left( {1 - n\sin \frac{1}{n}}\right) = \lim {n}^{3}\left( {\frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n}}\right) $$
$$ = \lim {n}^{3}\left\{ {\frac{1}{n} - \left\lbrack {\frac{1}{n} - \frac{1}{6{n}^{3}} + o\left( \frac{1}{{n}^{4}}\right) }\right\rbrack }\right\} $$
$$ = \lim \left\lbrack {\frac{1}{6} + o\left( \frac{1}{n}\right) }\right\rbrack = \frac{1}{6}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原极限表达式变形，提取公因子 n^3
原极限为 lim_{n→∞} n^2 (1 - n sin(1/n))。将 n 乘入括号内，得到 lim_{n→∞} n^3 (1/n - sin(1/n))。
公式：n^2 (1 - n sin(1/n)) = n^3 (1/n - sin(1/n))
提示：注意将 n^2 与括号内的 n 相乘，得到 n^3。
步骤 2/4
目标：利用 sin x 的泰勒展开式展开 sin(1/n)
当 x→0 时，sin x = x - x^3/6 + o(x^4)。令 x = 1/n，则 sin(1/n) = 1/n - 1/(6n^3) + o(1/n^4)。
公式：sin(1/n) = 1/n - 1/(6n^3) + o(1/n^4)
提示：泰勒展开到足够高阶，以便消去主要项。
步骤 3/4
目标：代入展开式并化简
将 sin(1/n) 的展开式代入 1/n - sin(1/n)，得到 1/n - [1/n - 1/(6n^3) + o(1/n^4)] = 1/(6n^3) + o(1/n^4)。再乘以 n^3，得到 n^3 * [1/(6n^3) + o(1/n^4)] = 1/6 + o(1/n)。
公式：n^3 (1/n - sin(1/n)) = 1/6 + o(1/n)
提示：注意 o(1/n^4) 乘以 n^3 后变为 o(1/n)。
步骤 4/4
目标：取极限得到最终结果
当 n→∞ 时，o(1/n) → 0，因此极限为 1/6。
公式：lim_{n→∞} [1/6 + o(1/n)] = 1/6
提示：o(1/n) 是无穷小量，极限为0。
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