新讲 第8章 利用导数研究函数 第9题
📝 题目
例 9 求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x - \arctan x}{\tan x - \arcsin x}}$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x - \arctan x}{\tan x - \arcsin x} $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\left( {x - \frac{{x}^{3}}{3!} + o\left( {x}^{3}\right) }\right) - \left( {x - \frac{{x}^{3}}{3} + o\left( {x}^{3}\right) }\right) }{\left( {x + \frac{{x}^{3}}{3} + o\left( {x}^{3}\right) }\right) - \left( {x + \frac{{x}^{3}}{3!} + o\left( {x}^{3}\right) }\right) } $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\frac{{x}^{3}}{6} + o\left( {x}^{3}\right) }{\frac{{x}^{3}}{6} + o\left( {x}^{3}\right) } = 1. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将分子和分母中的函数展开为泰勒级数
将 sin x, arctan x, tan x, arcsin x 在 x=0 处展开到三阶：sin x = x - x^3/6 + o(x^3), arctan x = x - x^3/3 + o(x^3), tan x = x + x^3/3 + o(x^3), arcsin x = x + x^3/6 + o(x^3)。
公式：sin x = x - x^3/6 + o(x^3); arctan x = x - x^3/3 + o(x^3); tan x = x + x^3/3 + o(x^3); arcsin x = x + x^3/6 + o(x^3)
提示：注意展开到三阶即可，因为分子分母的x项相消，三阶项决定极限。
步骤 2/3
目标：代入展开式并化简分子分母
分子：sin x - arctan x = (x - x^3/6 + o(x^3)) - (x - x^3/3 + o(x^3)) = (-1/6 + 1/3)x^3 + o(x^3) = x^3/6 + o(x^3)。分母：tan x - arcsin x = (x + x^3/3 + o(x^3)) - (x + x^3/6 + o(x^3)) = (1/3 - 1/6)x^3 + o(x^3) = x^3/6 + o(x^3)。
公式：sin x - arctan x = x^3/6 + o(x^3); tan x - arcsin x = x^3/6 + o(x^3)
提示：注意合并同类项时系数计算准确。
步骤 3/3
目标：求极限
原极限 = lim_{x→0} (x^3/6 + o(x^3)) / (x^3/6 + o(x^3)) = 1，因为分子分母的主部相同。
公式：lim_{x→0} (x^3/6 + o(x^3))/(x^3/6 + o(x^3)) = 1
提示：高阶无穷小 o(x^3) 不影响极限结果。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。