💡 答案解析
解 我们有
$$ {\mathrm{e}}^{\cos x} = \mathrm{e} \cdot {\mathrm{e}}^{\cos x - 1} $$
$$ = \mathrm{e}\left\lbrack {1 + \left( {\cos x - 1}\right) + \frac{1}{2}{\left( \cos x - 1\right) }^{2}}\right. $$
$$ \left. {+o\left( {\left( \cos x - 1\right) }^{2}\right) }\right\rbrack $$
$$ = \mathrm{e}\left\lbrack {1 + \left( {-\frac{{x}^{2}}{2} + \frac{{x}^{4}}{24} + o\left( {x}^{4}\right) }\right) }\right. $$
$$ \left. {+\frac{1}{2}{\left( -\frac{{x}^{2}}{2} + o\left( {x}^{2}\right) \right) }^{2} + o\left( {\left( -\frac{{x}^{2}}{2} + o\left( {x}^{2}\right) \right) }^{2}\right) }\right\rbrack $$
$$ = \mathrm{e}\left\lbrack {1 - \frac{{x}^{2}}{2} + \frac{{x}^{4}}{6} + o\left( {x}^{4}\right) }\right\rbrack $$
$$ = \mathrm{e} - \frac{\mathrm{e}}{2}{x}^{2} + \frac{\mathrm{e}}{6}{x}^{4} + o\left( {x}^{4}\right) . $$
📋 详细解题步骤
目标：将函数写成e乘以e^(cos x - 1)的形式
将原函数f(x)=e^(cos x)改写为e * e^(cos x - 1)，以便利用指数函数的泰勒展开。
公式：e^{cos x} = e \cdot e^{cos x - 1}
提示：注意提取常数因子e，使得指数部分在x=0时趋于0。
目标：对e^(cos x - 1)进行泰勒展开到二阶
令u = cos x - 1，则e^u = 1 + u + u^2/2 + o(u^2)。代入u = cos x - 1。
公式：e^u = 1 + u + \frac{1}{2}u^2 + o(u^2)
提示：展开到u^2项，因为后续需要x^4项，而u本身是x^2量级。
目标：展开cos x到4阶
cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)，所以cos x - 1 = -x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)。
公式：\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)
提示：注意cos x的展开是偶函数，只有偶次项。
目标：代入并计算u和u^2的表达式
将u = -x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)代入，计算u^2 = (-x^2/2)^2 + 高阶项 = x^4/4 + o(x^4)。注意交叉项为高阶。
公式：u^2 = \left(-\frac{x^2}{2}\right)^2 + o(x^4) = \frac{x^4}{4} + o(x^4)
提示：计算u^2时只保留到x^4项，因为更高阶项在最终结果中会被o(x^4)吸收。
目标：合并各项得到e^(cos x - 1)的展开式
e^(cos x - 1) = 1 + (-x^2/2 + x^4/24) + (1/2)*(x^4/4) + o(x^4) = 1 - x^2/2 + (x^4/24 + x^4/8) + o(x^4) = 1 - x^2/2 + x^4/6 + o(x^4)。
公式：e^{\cos x - 1} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6} + o(x^4)
提示：合并x^4项时注意系数：1/24 + 1/8 = 1/24 + 3/24 = 4/24 = 1/6。
目标：乘以e得到最终结果
将上一步结果乘以e，得到f(x)=e - (e/2)x^2 + (e/6)x^4 + o(x^4)。
公式：f(x) = e\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6}\right) + o(x^4) = e - \frac{e}{2}x^2 + \frac{e}{6}x^4 + o(x^4)
提示：注意常数项e，以及o(x^4)乘以e后仍是o(x^4)。