新讲 第2章 极 限 第10题

教材习题

📝 题目

例 10 设 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 是实数序列, ${a}_{n} > 0\left( {\forall n}\right) ,\lim {a}_{n} = A > 0$ . 求证

$$ \lim \sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}} = A\text{ . } $$

💡 答案解析

证明 由不等式

$$ \sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}} \leq \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} $$

和

$$ \sqrt[n]{\frac{1}{{a}_{1}}\frac{1}{{a}_{2}}\cdots \frac{1}{{a}_{n}}} \leq \frac{\frac{1}{{a}_{1}} + \frac{1}{{a}_{2}} + \cdots + \frac{1}{{a}_{n}}}{n} $$

可得

$$ \frac{n}{\frac{1}{{a}_{1}} + \frac{1}{{a}_{2}} + \cdots + \frac{1}{{a}_{n}}} \leq \sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}} \leq \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n}. $$

我们记

$$ {x}_{n} = \frac{n}{\frac{1}{{a}_{1}} + \frac{1}{{a}_{2}} + \cdots + \frac{1}{{a}_{n}}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{{a}_{1}} + \frac{1}{{a}_{2}} + \cdots + \frac{1}{{a}_{n}}\right) }, $$

$$ {y}_{n} = \sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}}, $$

$$ {z}_{n} = \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n}. $$

因为

$$ {x}_{n} \leq {y}_{n} \leq {z}_{n},\;\forall n \in \mathbb{N}, $$

$$ \lim {x}_{n} = \frac{1}{\left( \frac{1}{A}\right) } = A, $$

$$ \lim {z}_{n} = A, $$

所以有

$$ \lim {y}_{n} = A\text{ . } $$

在有关极限的一些证明中, 常常用到涉及绝对值的不等式和加减辅助项的技巧. 例如在极限的加法法则与乘法法则的证明中, 我们用到以下关系

$$ \left| {\left( {{x}_{n} + {y}_{n}}\right) - \left( {a + b}\right) }\right| \leq \left| {{x}_{n} - a}\right| + \left| {{y}_{n} - b}\right| , $$

$$ \left| {{x}_{n}{y}_{n} - {ab}}\right| = \left| {{x}_{n}{y}_{n} - a{y}_{n} + a{y}_{n} - {ab}}\right| $$

$$ \leq \left| {{x}_{n} - a}\right| \left| {y}_{n}\right| + \left| a\right| \left| {{y}_{n} - b}\right| . $$

若引用定理 3 , 通过无穷小序列来表示收敛序列, 则往往可以使证明更加平易显然. 例如, 序列极限的加法法则与乘法法则可以这样来证明:

设 $\displaystyle{\lim {x}_{n} = a,\lim {y}_{n} = b}$ ,则

$$ {x}_{n} = a + {\alpha }_{n},\;{y}_{n} = b + {\beta }_{n}, $$

这里的 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 和 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 都是无穷小序列. 于是

$$ {x}_{n} + {y}_{n} = a + b + {\alpha }_{n} + {\beta }_{n}, $$

$$ {x}_{n}{y}_{n} = {ab} + a{\beta }_{n} + b{\alpha }_{n} + {\alpha }_{n}{\beta }_{n}. $$

因为 $\left\{ {{\alpha }_{n} + {\beta }_{n}}\right\}$ 和 $\left\{ {a{\beta }_{n} + b{\alpha }_{n} + {\alpha }_{n}{\beta }_{n}}\right\}$ 都是无穷小序列,所以

$$ \lim \left( {{x}_{n} + {y}_{n}}\right) = a + b, $$

$$ \lim \left( {{x}_{n}{y}_{n}}\right) = {ab}. $$

在讨论中引入无穷小序列, 常常可使复杂的问题简单化. 我们再举两个例子.

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：利用均值不等式建立夹逼关系
由算术-几何平均不等式，有 √[n]{a1 a2 ... an} ≤ (a1 + a2 + ... + an)/n，以及 √[n]{1/a1 * 1/a2 * ... * 1/an} ≤ (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n。对第二个不等式取倒数，得到 n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) ≤ √[n]{a1 a2 ... an}。因此，有不等式链：n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) ≤ √[n]{a1 a2 ... an} ≤ (a1 + a2 + ... + an)/n。
公式：\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \quad \text{和} \quad \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
提示：注意第二个不等式是通过对倒数形式的不等式取倒数得到的，要确保分母不为零。
步骤 2/2
目标：定义三个序列并求其极限
令 x_n = n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)，y_n = √[n]{a1 a2 ... an}，z_n = (a1 + a2 + ... + an)/n。由第一步有 x_n ≤ y_n ≤ z_n。由于 lim a_n = A > 0，根据极限的算术性质，调和平均的极限为 A，即 lim x_n = 1/(1/A) = A；算术平均的极限也为 A，即 lim z_n = A。因此由夹逼定理，lim y_n = A。
公式：\lim x_n = \frac{1}{\frac{1}{A}} = A, \quad \lim z_n = A
提示：这里用到了极限的算术平均性质：若 lim a_n = A，则 lim (a1+...+an)/n = A；以及调和平均的极限：若 lim a_n = A > 0，则 lim n/(1/a1+...+1/an) = A。

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