新讲第8章利用导数研究函数第4题

教材习题

📝 题目

例 4 求证

$$ \frac{\sin x}{x} \geq \frac{2}{\pi },\;\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack . $$

证明考察函数

$$ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin x}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 1, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. $$

这函数在 $\left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 上连续,在 $\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ 上可导,并且

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{x\cos x - \sin x}{{x}^{2}} $$

$$ = \frac{\cos x}{{x}^{2}}\left( {x - \tan x}\right) < 0,\;\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right) . $$

我们看到: 函数 $f$ 在 $\left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 上是单调下降的,因而

$$ f\left( x\right) \geq f\left( \frac{\pi }{2}\right) ,\;\forall x \in \left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack . $$

由此得到

$$ \frac{\sin x}{x} \geq \frac{2}{\pi },\;\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack . $$

步骤 1/4

目标：定义辅助函数并分析其性质

定义函数 f(x) = sin x / x (x ≠ 0) 且 f(0)=1，该函数在 [0, π/2] 上连续，在 (0, π/2) 上可导。

公式：f(x) = { sin x / x, x ≠ 0; 1, x = 0 }

提示：注意补充定义 x=0 处的函数值，使函数在闭区间连续。

步骤 2/4

目标：求导数并判断单调性

求导得 f'(x) = (x cos x - sin x) / x^2 = cos x (x - tan x) / x^2。由于在 (0, π/2) 上 cos x > 0，x - tan x < 0，故 f'(x) < 0，函数单调递减。

公式：f'(x) = (x cos x - sin x) / x^2 = cos x (x - tan x) / x^2 < 0

提示：利用 tan x > x 在 (0, π/2) 上的性质判断导数符号。

步骤 3/4

目标：利用单调性得到不等式

由于 f 在 [0, π/2] 上单调递减，因此对任意 x ∈ [0, π/2]，有 f(x) ≥ f(π/2)。计算 f(π/2) = sin(π/2) / (π/2) = 2/π。

公式：f(x) ≥ f(π/2) = 2/π

提示：注意单调递减时，自变量越大函数值越小，故在左端点取得最大值。

步骤 4/4

目标：得出结论

因此，对任意 x ∈ (0, π/2]，有 sin x / x ≥ 2/π。

公式：sin x / x ≥ 2/π, ∀ x ∈ (0, π/2]

提示：注意 x=0 时不等式取等号（极限意义），但题目范围不包括0。

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