新讲 第8章 利用导数研究函数 第3题
📝 题目
例 3 (推广的伯努利不等式) 对于 $\alpha > 1,x > - 1$ ,我们有
$$ {\left( 1 + x\right) }^{a} \geq 1 + {\alpha x}, $$
等号仅当 $x = 0$ 时成立.
💡 答案解析
证明 我们有
$$ {\left( 1 + x\right) }^{\alpha } = 1 + {\alpha x} + \frac{\alpha \left( {\alpha - 1}\right) }{2}{\left( 1 + \theta x\right) }^{\alpha - 2}{x}^{2} $$
$$ \geq 1 + {\alpha x},\;\forall x > - 1. $$
上式中的等号仅当 $x = 0$ 时成立.
注记
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用泰勒展开或拉格朗日中值定理将(1+x)^α展开
将函数f(x)=(1+x)^α在x=0处展开到二阶，使用带拉格朗日余项的泰勒公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2 f''(θx)x^2，其中θ∈(0,1)。计算f(0)=1，f'(x)=α(1+x)^{α-1}，f'(0)=α，f''(x)=α(α-1)(1+x)^{α-2}，代入得(1+x)^α=1+αx+α(α-1)/2 (1+θx)^{α-2} x^2。
公式：(1+x)^α = 1+αx + α(α-1)/2 (1+θx)^{α-2} x^2
提示：注意余项中的θ依赖于x和α，且0<θ<1。
步骤 2/3
目标：分析余项的非负性
由于α>1，故α-1>0，α(α-1)/2>0。又因为x>-1，所以1+θx>0（因为θ∈(0,1)，若x>-1则1+θx>1-θ>0），从而(1+θx)^{α-2}>0。因此余项α(α-1)/2 (1+θx)^{α-2} x^2 ≥ 0，当且仅当x=0时取等。
公式：α(α-1)/2 (1+θx)^{α-2} x^2 ≥ 0
提示：注意x^2非负，且(1+θx)^{α-2}为正，所以整个余项非负。
步骤 3/3
目标：得出不等式并说明等号条件
由展开式及余项非负得(1+x)^α = 1+αx + 非负项 ≥ 1+αx。等号成立当且仅当余项为零，即x=0。
公式：(1+x)^α ≥ 1+αx
提示：等号仅当x=0时成立。
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