新讲 第8章 利用导数研究函数 第2题
📝 题目
例 2 求证: ${\mathrm{e}}^{x} \geq 1 + x,\forall x \in \mathbb{R}$ ,等号仅当 $x = 0$ 时成立.
💡 答案解析
证明 利用泰勒公式
$$ {\mathrm{e}}^{x} = 1 + x + \frac{{x}^{2}}{2}{\mathrm{e}}^{\theta x}, $$
可得
$$ {\mathrm{e}}^{x} \geq 1 + x, $$
上式中的等号仅当 $x = 0$ 时成立.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用泰勒公式展开指数函数
将 e^x 在 x=0 处展开为带拉格朗日余项的泰勒公式：e^x = 1 + x + (x^2/2) e^{θx}，其中 θ ∈ (0,1)。
公式：e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} e^{θx}
提示：注意余项中的指数项 e^{θx} 恒大于0。
步骤 2/3
目标：利用余项非负性证明不等式
由于 e^{θx} > 0 且 x^2 ≥ 0，所以 (x^2/2) e^{θx} ≥ 0，因此 e^x = 1 + x + 非负项 ≥ 1 + x。
公式：e^x - (1+x) = \frac{x^2}{2} e^{θx} ≥ 0
提示：等号成立当且仅当 x^2=0，即 x=0。
步骤 3/3
目标：讨论等号成立条件
当 x=0 时，代入得 e^0=1，1+0=1，等号成立。当 x≠0 时，x^2>0，从而 e^x > 1+x。
提示：严格不等式成立当 x≠0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。