新讲 第8章 利用导数研究函数 第1题
📝 题目
例 1 对于 $x \geq 0$ ,我们有不等式
$$ \frac{x}{1 + x} \leq \ln \left( {1 + x}\right) \leq x, $$
等号仅当 $x = 0$ 时成立.
💡 答案解析
证明 根据拉格朗日中值定理, 应该有
$$ \ln \left( {1 + x}\right) = \ln \left( {1 + x}\right) - \ln \left( {1 + 0}\right) = \frac{x}{1 + {\theta x}}, $$
$$ 0 < \theta < 1\text{ . } $$
因为
$$ \frac{1}{1 + x} \leq \frac{1}{1 + {\theta x}} \leq 1 $$
(等号仅当 $x = 0$ 时成立),
所以
$$ \frac{x}{1 + x} \leq \ln \left( {1 + x}\right) \leq x $$
(等号仅当 $x = 0$ 时成立).
作为
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用拉格朗日中值定理
设函数 f(t)=ln(1+t) 在区间 [0,x] 上满足拉格朗日中值定理条件，则存在 θ∈(0,1) 使得 ln(1+x) - ln(1+0) = f'(θx) * (x-0)，即 ln(1+x) = x/(1+θx)。
公式：ln(1+x) = x/(1+θx), 0<θ<1
提示：注意拉格朗日中值定理的应用条件：函数在闭区间连续，开区间可导。
步骤 2/3
目标：估计 1/(1+θx) 的范围
由于 0<θ<1，且 x≥0，有 0 ≤ θx ≤ x，因此 1/(1+x) ≤ 1/(1+θx) ≤ 1，等号仅当 x=0 时成立。
公式：1/(1+x) ≤ 1/(1+θx) ≤ 1
提示：注意不等式方向：分母越大，分数越小。
步骤 3/3
目标：推导原不等式
将上一步的不等式两边乘以 x（x≥0），得到 x/(1+x) ≤ x/(1+θx) ≤ x，即 x/(1+x) ≤ ln(1+x) ≤ x，等号仅当 x=0 时成立。
公式：x/(1+x) ≤ ln(1+x) ≤ x
提示：乘以正数不改变不等号方向。
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