新讲 第8章 利用导数研究函数 第13题
📝 题目
例 13 试证 $\mathrm{e}$ 是无理数.
💡 答案解析
证明 (用反证法) 假设 $\mathrm{e}$ 是有理数,它表示成分母为 $N$ 的分数,取 $\displaystyle{n > \max \{ N,3\}}$ . 根据函数 ${\mathrm{e}}^{x}$ 的拉格朗日形式的泰勒公式,我们有
$$ \mathrm{e} - 1 - \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} - \cdots - \frac{1}{n!} = \frac{{\mathrm{e}}^{\theta }}{\left( {n + 1}\right) !}, $$
这里 $0 < \theta < 1$ ,因而 $1 < {\mathrm{e}}^{\theta } < 3$ . 上式两边乘以 $n$ ! 得到
$$ n!\left( {\mathrm{e} - 1 - \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} - \cdots - \frac{1}{n!}}\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{0}}{n + 1}. $$
但上式左边是整数, 而右边
$$ 0 < \frac{{\mathrm{e}}^{\theta }}{n + 1} < 1 $$
这一矛盾说明 $\mathrm{e}$ 不能是有理数.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：假设e是有理数，导出矛盾
用反证法，假设e是有理数，则可表示为分母为N的分数。取n > max{N, 3}。
提示：反证法假设是证明无理数的常用方法。
步骤 2/3
目标：应用泰勒公式展开e
根据e^x的拉格朗日形式泰勒公式，有 e - 1 - 1/1! - 1/2! - ... - 1/n! = e^θ / (n+1)!，其中0<θ<1，故1
公式：e = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! + e^θ/(n+1)!
提示：注意θ在0和1之间，e^θ介于1和3之间。
步骤 3/3
目标：两边乘以n!得到整数与分数的矛盾
两边乘以n!得：n!(e - 1 - 1/1! - ... - 1/n!) = e^θ/(n+1)。左边是整数（因为e是有理数且分母整除n!），右边0 < e^θ/(n+1) < 1，不是整数，矛盾。
公式：n! e - n! (1 + 1/1! + ... + 1/n!) = e^θ/(n+1)
提示：左边为整数是因为n!乘以有理数e的分母后得到整数。
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