新讲 第8章 利用导数研究函数 第1题
📝 题目
例 1 求曲线
$$ y = \frac{{x}^{2}}{1 + x} $$
的渐近线 (参看图 8-4).
💡 答案解析
解 首先注意到
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - 1}}y = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - 1}}\frac{{x}^{2}}{1 + x} = \infty , $$
由此得知曲线 $y = \frac{{x}^{2}}{1 + x}$ 有竖直渐近线
$$ x = - 1\text{ . } $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/036.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 8-4
其次, 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{y}{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{x}{1 + x} = 1, $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\left( {y - x}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\left( {\frac{{x}^{2}}{1 + x} - x}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{-x}{1 + x} = - 1, $$
所以曲线 $y = \frac{{x}^{2}}{1 + x}$ 还有斜渐近线
$$ y = x - 1\text{ . } $$