新讲 第10章 广义积分 第1题

解 记地球的半径为 $R$ ,则在离地心距离为 $r$ 的地方,火箭所受到的地球引力 $F$ 应满足

$$ \frac{F}{mg} = \frac{\frac{1}{{r}^{2}}}{\frac{1}{{R}^{2}}}. $$

由此得到

$$ F = \frac{{mg}{R}^{2}}{{r}^{2}}. $$

于是, 这火箭飞离地球引力范围所需做的功为

$$ W = {\int }_{R}^{+\infty }\frac{{mg}{R}^{2}}{{r}^{2}}\mathrm{\;d}r $$

$$ = \mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow + \infty }}{mg}{R}^{2}\left( {\frac{1}{R} - \frac{1}{r}}\right) = {mgR}. $$

如果火箭达到速度 $v$ 之后就熄火靠惯性继续飞行,为使火箭能飞离地球引力范围,它的动能 $\frac{1}{2}m{v}^{2}$ 至少要等于克服地球引力所需的功 ${mgR}$ :

$$ \frac{1}{2}m{v}^{2} = {mgR} $$

由此可知,速度 $v$ 至少为

$$ v = \sqrt{2gR}. $$

以

$$ g = {9.81}\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2},\;R = {6371} \times {10}^{3}\mathrm{\;m}, $$

代入上式, 我们求得

$$ v = {11.2} \times {10}^{3}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}\text{ . } $$

每秒 ${11.2}\mathrm{\;{km}}$ ,这就是物体从地面飞出地球引力圈所必须具有的速度. 人们把这样一个速度叫作第二宇宙速度.