新讲 第10章 广义积分 第4题
📝 题目
例 4 计算积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x\;\left( {a > 0}\right) . $$
💡 答案解析
解 函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}$ 的原函数为:
$$ F\left( x\right) = - {\mathrm{e}}^{-{ax}}\frac{a\sin {bx} + b\cos {bx}}{{a}^{2} + {b}^{2}} + C, $$
因而
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x = {\left. F\left( x\right) \right| }_{0}^{+\infty } = \frac{b}{{a}^{2} + {b}^{2}}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求被积函数的原函数
被积函数为 e^{-ax} sin(bx)，其中 a>0。使用分部积分法或查积分表，得到原函数 F(x) = -e^{-ax} (a sin(bx) + b cos(bx))/(a^2 + b^2) + C。
公式：∫ e^{-ax} sin(bx) dx = -e^{-ax} (a sin(bx) + b cos(bx))/(a^2 + b^2) + C
提示：分部积分时，可设 u = sin(bx), dv = e^{-ax} dx，或使用复数方法。
步骤 2/2
目标：计算定积分
利用牛顿-莱布尼茨公式，计算 F(x) 在无穷区间上的差值：∫_0^+∞ e^{-ax} sin(bx) dx = lim_{x→+∞} F(x) - F(0)。由于 a>0，当 x→+∞ 时，e^{-ax}→0，故极限为0。F(0) = -e^0 (a sin0 + b cos0)/(a^2+b^2) = -b/(a^2+b^2)。因此积分值为 0 - (-b/(a^2+b^2)) = b/(a^2+b^2)。
公式：∫_0^+∞ e^{-ax} sin(bx) dx = b/(a^2+b^2)
提示：注意 e^{-ax} 在无穷远处衰减，保证极限存在。
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