新讲 第10章 广义积分 第5题
📝 题目
例 5 计算积分
$$ {\int }_{0}^{1}\ln x\mathrm{\;d}x $$
💡 答案解析
解 据牛顿-莱布尼茨公式, 我们得到
$$ {\int }_{0}^{1}\ln x\mathrm{\;d}x = {\left. \left( x\ln x - x\right) \right| }_{0}^{1} = - 1. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别积分类型并选择方法
该积分是定积分，被积函数为ln x，在x=0处无定义，属于广义积分（瑕积分）。但此处直接使用牛顿-莱布尼茨公式，需注意原函数在x=0处的极限行为。
提示：注意ln x在x=0处趋于负无穷，但原函数x ln x - x在x→0+时极限为0。
步骤 2/3
目标：求原函数
求不定积分∫ ln x dx。使用分部积分法，设u=ln x, dv=dx，则du=(1/x)dx, v=x，得∫ ln x dx = x ln x - ∫ x*(1/x) dx = x ln x - ∫ dx = x ln x - x + C。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：分部积分时，选择u=ln x，dv=dx。
步骤 3/3
目标：应用牛顿-莱布尼茨公式
计算定积分：∫₀¹ ln x dx = [x ln x - x]₀¹。先代入上限x=1：1*ln1 - 1 = 0 - 1 = -1。再代入下限x=0：需取极限lim_{x→0+} (x ln x - x) = 0 - 0 = 0（因为lim_{x→0+} x ln x = 0）。所以结果为-1 - 0 = -1。
公式：∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
提示：计算下限时，注意x ln x在x→0+的极限为0，可用洛必达法则或已知结论。
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