新讲 第2章 极 限 第12题

教材习题

📝 题目

例 12 设 $\displaystyle{\lim {x}_{n} = a}$ . 求证

$$ \lim \frac{{x}_{1} + 2{x}_{2} + \cdots + n{x}_{n}}{{n}^{2}} = \frac{a}{2}. $$

💡 答案解析

证明 我们有

$$ {x}_{n} = a + {\alpha }_{n}, $$

这里 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列. 于是

$$ \frac{{x}_{1} + 2{x}_{2} + \cdots + n{x}_{n}}{{n}^{2}} $$

$$ = \frac{\left( {a + {\alpha }_{1}}\right) + 2\left( {a + {\alpha }_{2}}\right) + \cdots + n\left( {a + {\alpha }_{n}}\right) }{{n}^{2}} $$

$$ = \frac{n + 1}{2n}a + \frac{\frac{1}{n}{\alpha }_{1} + \frac{2}{n}{\alpha }_{2} + \cdots + \frac{n}{n}{\alpha }_{n}}{n}. $$

因为

$$ \left| \frac{\frac{1}{n}{\alpha }_{1} + \frac{2}{n}{\alpha }_{2} + \cdots + \frac{n}{n}{\alpha }_{n}}{n}\right| \leq \frac{\left| {\alpha }_{1}\right| + \left| {\alpha }_{2}\right| + \cdots + \left| {\alpha }_{n}\right| }{n}, $$

所以

$$ \lim \frac{{x}_{1} + 2{x}_{2} + \cdots + n{x}_{n}}{{n}^{2}} $$

$$ = \lim \frac{n + 1}{2n}a + \lim \frac{\frac{1}{n}{\alpha }_{1} + \frac{2}{n}{\alpha }_{2} + \cdots + \frac{n}{n}{\alpha }_{n}}{n} $$

$$ = \frac{a}{2} + 0 = \frac{a}{2}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：将xn表示为极限a与无穷小αn的和
由于lim xn = a，令αn = xn - a，则αn是无穷小序列，即lim αn = 0。于是xn = a + αn。
公式：x_n = a + α_n, lim α_n = 0
提示：这是处理极限问题的常用技巧，将变量分解为极限值加上无穷小量。
步骤 2/7
目标：将待求极限表达式用a和αn表示
代入xn = a + αn，得分子为 (a+α1) + 2(a+α2) + ... + n(a+αn) = a(1+2+...+n) + (α1 + 2α2 + ... + nαn)。分母为n^2。因此原式 = a(1+2+...+n)/n^2 + (α1 + 2α2 + ... + nαn)/n^2。
公式：1+2+...+n = n(n+1)/2
提示：注意求和公式的运用。
步骤 3/7
目标：化简第一部分a(1+2+...+n)/n^2
计算 a * n(n+1)/2 / n^2 = a(n+1)/(2n) = a/2 * (1 + 1/n)。
公式：a(n+1)/(2n) = a/2 + a/(2n)
提示：当n→∞时，a/(2n)→0，所以第一部分极限为a/2。
步骤 4/7
目标：处理第二部分(α1 + 2α2 + ... + nαn)/n^2
将分子分母同除以n，得 ( (1/n)α1 + (2/n)α2 + ... + (n/n)αn ) / n。记β_n = (1/n)α1 + (2/n)α2 + ... + (n/n)αn，则第二部分为β_n/n。
公式：第二部分 = (∑_{k=1}^n (k/n)α_k) / n
提示：这种变形是为了利用已知极限性质。
步骤 5/7
目标：估计β_n的绝对值上界
由于|k/n| ≤ 1，所以|β_n| ≤ (|α1| + |α2| + ... + |αn|)/n。而αn是无穷小，故其算术平均值也是无穷小，即lim (|α1|+...+|αn|)/n = 0。因此lim β_n = 0。
公式：|β_n| ≤ (|α1|+...+|αn|)/n, lim (|α1|+...+|αn|)/n = 0
提示：这里用到无穷小序列的算术平均值仍为无穷小的性质。
步骤 6/7
目标：得到第二部分极限为0
由于β_n是无穷小，则β_n/n也是无穷小，因为1/n有界。所以lim (α1+2α2+...+nαn)/n^2 = 0。
公式：lim β_n/n = 0
提示：无穷小乘以有界量仍是无穷小。
步骤 7/7
目标：合并两部分得到最终极限
原式极限 = lim [a(n+1)/(2n)] + lim [第二部分] = a/2 + 0 = a/2。
公式：lim = a/2
提示：注意极限的加法法则。

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