新讲 第2章 极 限 第13题
📝 题目
例 13 设给定自然数 $k \geq 2$ . 试对充分大的 $n$ 判别以下三式的大小顺序:
$$ {n}^{k},\;{k}^{n},\;n! $$
💡 答案解析
解 因为 $\displaystyle{\lim \frac{{n}^{k}}{{k}^{n}} = 0 < 1}$ (参看 §1 的
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：比较 n^k 与 k^n 的大小
计算极限 lim_{n→∞} n^k / k^n。由于 k≥2，指数函数增长快于幂函数，极限为0。因此当n充分大时，n^k < k^n。
公式：lim_{n→∞} n^k / k^n = 0
提示：利用指数函数与幂函数的增长速度差异。
步骤 2/3
目标：比较 k^n 与 n! 的大小
考虑比值 a_n = k^n / n!。当 n > k 时，a_n = (k/1)*(k/2)*...*(k/k)*...*(k/n) < (k/1)*(k/2)*...*(k/k)* (k/(k+1))^{n-k}。由于 k/(k+1) < 1，当n→∞时，a_n → 0。因此当n充分大时，k^n < n!。
公式：lim_{n→∞} k^n / n! = 0
提示：利用比值审敛法或夹逼准则。
步骤 3/3
目标：综合排序
由前两步可知，当n充分大时，有 n^k < k^n < n!。
提示：注意结论成立的条件是n足够大。
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