新讲 第2章 极 限 第14题

教材习题

📝 题目

例 14 设 $A > 0,a \neq 0$ . 问当 $n$ 充分大的时候

$$ A{n}^{2} + {Bn} + C\text{ 与 }\frac{a{n}^{2} + {bn} + c}{A{n}^{2} + {Bn} + C} $$

各有怎样的符号?

💡 答案解析

解 因为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left( {A + B\frac{1}{n} + C\frac{1}{{n}^{2}}}\right) = A > 0, $$

所以对充分大的 $n$ 有

$$ A + B\frac{1}{n} + C\frac{1}{{n}^{2}} > 0, $$

$$ A{n}^{2} + {Bn} + C = {n}^{2}\left( {A + B\frac{1}{n} + C\frac{1}{{n}^{2}}}\right) > 0. $$

又因为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{a{n}^{2} + {bn} + c}{A{n}^{2} + {Bn} + C} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{a + b\frac{1}{n} + c\frac{1}{{n}^{2}}}{A + B\frac{1}{n} + C\frac{1}{{n}^{2}}} = \frac{a}{A}, $$

所以当 $n$ 充分大的时候, $\frac{a{n}^{2} + {bn} + c}{A{n}^{2} + {Bn} + C}$ 与 $\frac{a}{A}$ 同号,因而与 $a$ 同号.

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：分析第一个表达式的符号
将 A n^2 + B n + C 提取 n^2，得到 n^2 (A + B/n + C/n^2)。由于 n^2 > 0，其符号由括号内的表达式决定。计算极限：lim_{n→+∞} (A + B/n + C/n^2) = A > 0，因此当 n 充分大时，括号内为正，从而 A n^2 + B n + C > 0。
公式：A n^2 + B n + C = n^2 (A + B/n + C/n^2)
提示：注意极限的保号性：若极限为正，则充分大时函数为正。
步骤 2/2
目标：分析第二个表达式的符号
考虑分式 (a n^2 + b n + c) / (A n^2 + B n + C)。分子分母同时除以 n^2，得到 (a + b/n + c/n^2) / (A + B/n + C/n^2)。求极限：lim_{n→+∞} = a/A。由于 A > 0，极限符号与 a 相同。由极限保号性，当 n 充分大时，分式与 a/A 同号，即与 a 同号。
公式：lim_{n→+∞} (a n^2 + b n + c)/(A n^2 + B n + C) = a/A
提示：注意分母 A n^2 + B n + C 已证为正，因此分式符号由分子决定，但极限结果直接给出符号。

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