新讲 第10章 广义积分 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 考察积分

$$ {\int }_{a}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}}\;\left( {a > 0}\right) . $$

💡 答案解析

解 因为

$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}} = \left\{ \begin{array}{ll} \ln x + C, & \text{ 若 }p = 1, \\ \frac{-1}{\left( {p - 1}\right) {x}^{p - 1}} + C, & \text{ 若 }p \neq 1, \end{array}\right. $$

所以

$$ {\int }_{a}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}} = \left\{ \begin{array}{ll} + \infty , & \text{ 若 }p \leq 1, \\ \frac{1}{\left( {p - 1}\right) {a}^{p - 1}}, & \text{ 若 }p > 1. \end{array}\right. $$

我们看到: 所给的积分当 $p > 1$ 时收敛,而当 $p \leq 1$ 时发散. 例如,以下积分都收敛:

$$ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}},\;{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x}}; $$

而以下的积分都是发散的:

$$ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x},\;{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：计算不定积分
对 p 分情况讨论：当 p=1 时，∫dx/x = ln|x|+C；当 p≠1 时，∫dx/x^p = x^{1-p}/(1-p)+C = -1/[(p-1)x^{p-1}]+C。
公式：∫dx/x^p = { ln|x|+C, p=1; -1/[(p-1)x^{p-1}]+C, p≠1 }
提示：注意 p=1 是特殊情况，需单独处理。
步骤 2/3
目标：计算反常积分
将积分上限趋于无穷：∫_a^∞ dx/x^p = lim_{b→∞} [F(b)-F(a)]。代入原函数：当 p=1 时，结果为 lim_{b→∞} (ln b - ln a)=+∞；当 p<1 时，结果为 lim_{b→∞} [ -1/((p-1)b^{p-1}) + 1/((p-1)a^{p-1}) ] = +∞（因为 b^{p-1}→∞）；当 p>1 时，结果为 0 + 1/((p-1)a^{p-1}) = 1/((p-1)a^{p-1})。
公式：∫_a^∞ dx/x^p = { +∞, p≤1; 1/((p-1)a^{p-1}), p>1 }
提示：注意 p<1 时，p-1<0，b^{p-1}→∞，故极限为+∞。
步骤 3/3
目标：总结收敛性
当 p>1 时积分收敛，当 p≤1 时积分发散。举例：∫_1^∞ dx/x^2 和 ∫_1^∞ dx/(x√x) 收敛；∫_1^∞ dx/x 和 ∫_1^∞ dx/√x 发散。
提示：判断收敛性只需看 p 是否大于 1。

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