新讲 第10章 广义积分 第7题
📝 题目
例 7 考察积分
$$ {\int }_{0}^{b}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{q}}. $$
💡 答案解析
解 因为
$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{q}} = \left\{ \begin{array}{ll} \ln x + C, & \text{ 若 }q = 1, \\ \frac{1}{1 - q}{x}^{1 - q} + C, & \text{ 若 }q \neq 1, \end{array}\right. $$
所以
$$ {\int }_{0}^{b}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{q}} = \left\{ \begin{array}{ll} + \infty , & \text{ 若 }q \geq 1, \\ \frac{1}{1 - q}{b}^{1 - q}, & \text{ 若 }q < 1. \end{array}\right. $$
我们看到: 所给的积分当 $q < 1$ 时收敛,而当 $q \geq 1$ 时发散. 例如,以下积分收敛:
$$ {\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}},\;{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}, $$
而以下积分发散:
$$ {\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x},\;{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求不定积分
当 q=1 时，∫ dx/x = ln|x| + C；当 q≠1 时，∫ dx/x^q = x^{1-q}/(1-q) + C。
公式：∫ dx/x^q = { ln|x| + C, q=1; x^{1-q}/(1-q) + C, q≠1 }
提示：注意区分 q=1 和 q≠1 的情况。
步骤 2/4
目标：计算定积分
将上下限代入不定积分结果。对于下限 x=0，需考虑极限。当 q<1 时，x^{1-q} 在 x=0 处趋于0；当 q≥1 时，x^{1-q} 在 x=0 处发散（q=1 时 ln x 发散）。
公式：∫_0^b dx/x^q = { +∞, q≥1; b^{1-q}/(1-q), q<1 }
提示：注意 q=1 时 ln x 在 0 处发散，q>1 时 x^{1-q} 在 0 处发散。
步骤 3/4
目标：判断收敛性
由结果可知，当 q<1 时积分收敛，当 q≥1 时积分发散。
提示：收敛条件：q<1。
步骤 4/4
目标：举例说明
收敛例子：∫_0^1 dx/√x (q=1/2<1)，∫_0^1 dx/∛(x^2) (q=2/3<1)；发散例子：∫_0^1 dx/x (q=1)，∫_0^1 dx/x^2 (q=2>1)。
提示：注意 q 的值与 1 的比较。
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