新讲 第2章 极 限 第1题
📝 题目
例 1 设 $a > 0$ ,求极限 $\displaystyle{\lim \frac{{a}^{n}}{n!}}$ .
💡 答案解析
解 记 ${x}_{n} = \frac{{a}^{n}}{n!},n = 1,2,\cdots$ . 显然有
$$ {x}_{n} > 0,\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
对于充分大的 $n$ 有
$$ \frac{a}{n + 1} < 1 $$
这时就有
$$ {x}_{n} = \frac{{a}^{n}}{n!} > \frac{{a}^{n}}{n!} \cdot \frac{a}{n + 1} = {x}_{n + 1}. $$
由单调收敛原理可知: 序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 有极限. 记这极限为 $x$ . 在以下等式中取极限:
$$ {x}_{n + 1} = \frac{a}{n + 1}{x}_{n}, $$
我们得到
$$ x = 0 \cdot x = 0. $$
这就是说
$$ \lim \frac{{a}^{n}}{n!} = 0 $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义数列并说明其正性
记 x_n = a^n / n!，n=1,2,...。显然有 x_n > 0 对所有 n∈N。
公式：x_n = a^n / n!
提示：数列各项为正，为后续单调性分析提供基础。
步骤 2/5
目标：证明数列从某项开始单调递减
对于充分大的 n，有 a/(n+1) < 1，此时 x_{n+1} = x_n * a/(n+1) < x_n，因此数列单调递减。
公式：x_{n+1} = x_n * a/(n+1)
提示：利用 a/(n+1) < 1 的条件，当 n > a-1 时成立。
步骤 3/5
目标：应用单调有界原理得出极限存在
由于数列单调递减且有下界0，由单调有界原理知极限存在，记极限为 x。
提示：单调递减有下界则极限存在。
步骤 4/5
目标：利用递推关系求极限
在等式 x_{n+1} = (a/(n+1)) x_n 两边取极限，得 x = 0 * x = 0。
公式：x_{n+1} = (a/(n+1)) x_n
提示：注意 a/(n+1) 的极限为0。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此极限为0，即 lim_{n→∞} a^n / n! = 0。
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