新讲 第13章 重积分 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 考察 ${\mathbb{R}}^{3}$ 中的圆柱 ${x}^{2} + {y}^{2} \leq {a}^{2}$ 和 ${x}^{2} + {z}^{2} \leq {a}^{2}$ ,试求这两

个圆柱相交部分的体积 $V$ (参看图 13-7).

\begin{center} \end{center} \hspace*{3em}

图 13-6

\begin{center} \end{center} \hspace*{3em}

图 13-7

💡 答案解析

解 由于对称性, 只需求出第一卦限内的部分体积再乘以 8 :

$$ V = 8{\iiint }_{E}\mathrm{\;d}\left( {x,y,z}\right) , $$

这里

$$ E = \left\{ {\left. \left( {x,y,z}\right) \right| \;\begin{matrix} x,y,z \geq 0, \\ {x}^{2} + {y}^{2} \leq {a}^{2},{x}^{2} + {z}^{2} \leq {a}^{2} \end{matrix}}\right\} $$

$$ = \left\{ {\left( {x,y,z}\right) \mid \left( {x,y}\right) \in D,0 \leq z \leq \sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}}\right\} , $$

$$ D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \mid x,y \geq 0,{x}^{2} + {y}^{2} \leq {a}^{2}}\right\} . $$

于是

$$ V = 8{\iint }_{D}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) {\int }_{0}^{\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}}\mathrm{\;d}z $$

$$ = 8{\iint }_{D}\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) $$

$$ = 8{\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}}\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}y $$

$$ = 8{\int }_{0}^{a}\left( {{a}^{2} - {x}^{2}}\right) \mathrm{d}x = \frac{16}{3}{a}^{3}. $$

另一种计算方案为

$$ V = 8{\iiint }_{E}\mathrm{\;d}\left( {x,y,z}\right) = 8{\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}x{\iint }_{{E}_{x}}\mathrm{\;d}\left( {y,z}\right) , $$

这里 ${E}_{x}$ 是一个正方形:

$$ {E}_{x} = \left\{ {\left( {y,z}\right) \left| {\;\begin{array}{l} 0 \leq y \leq \sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}} \\ 0 \leq z \leq \sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}} \end{array}}\right. }\right\} . $$

用这方案计算同样得到

$$ V = 8{\int }_{0}^{a}\left( {{a}^{2} - {x}^{2}}\right) \mathrm{d}x = \frac{16}{3}{a}^{3}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：利用对称性简化问题
由于两个圆柱相交的立体关于三个坐标平面对称，因此只需求出第一卦限内的部分体积，再乘以8即可得到总体积。
公式：V = 8 ∭_E dV
提示：注意对称性：立体在8个卦限中形状相同。
步骤 2/5
目标：确定积分区域E
第一卦限内，x,y,z≥0，且满足x²+y²≤a²和x²+z²≤a²。因此，对于固定的x，y和z的范围分别为0≤y≤√(a²-x²)和0≤z≤√(a²-x²)。所以E = {(x,y,z) | (x,y)∈D, 0≤z≤√(a²-x²)}，其中D = {(x,y) | x,y≥0, x²+y²≤a²}。
公式：E = { (x,y,z) | x,y,z≥0, x²+y²≤a², x²+z²≤a² }
提示：注意x是公共变量，y和z的范围由x决定。
步骤 3/5
目标：化为累次积分计算
先对z积分，再对y和x积分：V = 8 ∬_D (∫_0^{√(a²-x²)} dz) dA = 8 ∬_D √(a²-x²) dA。然后对y积分：= 8 ∫_{x=0}^a ∫_{y=0}^{√(a²-x²)} √(a²-x²) dy dx = 8 ∫_0^a (a²-x²) dx。
公式：V = 8 ∫_0^a (a²-x²) dx
提示：注意√(a²-x²)与y无关，可直接积分。
步骤 4/5
目标：计算定积分
计算 ∫_0^a (a²-x²) dx = [a²x - x³/3]_0^a = a³ - a³/3 = 2a³/3。乘以8得 V = 8 * (2a³/3) = 16a³/3。
公式：∫_0^a (a²-x²) dx = 2a³/3
提示：注意积分上下限。
步骤 5/5
目标：另一种计算方法（截面法）
先对x积分，再对y,z积分：V = 8 ∫_0^a dx ∬_{E_x} dy dz，其中E_x是边长为√(a²-x²)的正方形，面积为(a²-x²)。所以V = 8 ∫_0^a (a²-x²) dx = 16a³/3。
公式：V = 8 ∫_0^a (a²-x²) dx
提示：截面法更直接。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第1题 返回列表 第3题 →