新讲 第13章 重积分 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 如下形状的集合被称为 $n$ 维单纯形:

$$ {C}_{n}\left( r\right) = \left\{ {\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \in {\mathbb{R}}^{n}\left| {\;\begin{array}{l} {x}_{1} \geq 0,\cdots ,{x}_{n} \geq 0, \\ {x}_{1} + \cdots + {x}_{n} \leq r \end{array}}\right. }\right\} . $$

试计算 ${C}_{n}\left( r\right)$ 的体积 ${W}_{n}\left( r\right)$ .

💡 答案解析

解 我们来归纳 ${W}_{n}\left( r\right)$ 的一般公式. 首先, ${W}_{1}\left( r\right)$ 与 ${W}_{2}\left( r\right)$ 很容易求得:

$$ {W}_{1}\left( r\right) = {\int }_{0}^{r}\mathrm{\;d}{x}_{1} = r, $$

$$ {W}_{2}\left( r\right) = {\int }_{0}^{r}\mathrm{\;d}{x}_{2}{\int }_{{C}_{1}\left( {r - {x}_{2}}\right) }\mathrm{d}{x}_{1} $$

$$ = {\int }_{0}^{r}\left( {r - {x}_{2}}\right) \mathrm{d}{x}_{2} = \frac{1}{2}{r}^{2}. $$

假设对任何 $r \geq 0$ 已经求得

$$ {W}_{n - 1}\left( r\right) = \frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{r}^{n - 1}, $$

那么就有

$$ {W}_{n}\left( r\right) = {\int }_{0}^{r}\mathrm{\;d}{x}_{n}{\int }_{{C}_{n - 1}\left( {r - {x}_{n}}\right) }\mathrm{\;d}\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n - 1}}\right) $$

$$ = {\int }_{0}^{r}{W}_{n - 1}\left( {r - {x}_{n}}\right) \mathrm{d}{x}_{n} $$

$$ = {\int }_{0}^{r}\frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\left( r - {x}_{n}\right) }^{n - 1}\mathrm{\;d}{x}_{n} $$

$$ = \frac{1}{n!}{r}^{n}\text{ . } $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：计算一维单纯形体积
当 n=1 时，C_1(r) = {x1 ≥ 0, x1 ≤ r}，体积为从0到r的积分，即 W_1(r) = ∫_0^r dx1 = r。
公式：W_1(r) = r
提示：一维单纯形即线段，体积为长度。
步骤 2/4
目标：计算二维单纯形体积
当 n=2 时，C_2(r) = {x1≥0, x2≥0, x1+x2≤r}。固定x2，则x1的范围是0到r-x2，因此 W_2(r) = ∫_0^r (∫_0^{r-x2} dx1) dx2 = ∫_0^r (r-x2) dx2 = r^2/2。
公式：W_2(r) = r^2/2
提示：利用累次积分，先对x1积分。
步骤 3/4
目标：归纳假设n-1维体积公式
假设对任意r≥0，有 W_{n-1}(r) = r^{n-1}/(n-1)!。
公式：W_{n-1}(r) = r^{n-1}/(n-1)!
提示：这是归纳法的假设。
步骤 4/4
目标：推导n维体积公式
将n维单纯形按x_n切片：固定x_n，则剩余变量满足x1+...+x_{n-1} ≤ r-x_n，且非负，即C_{n-1}(r-x_n)。因此 W_n(r) = ∫_0^r W_{n-1}(r-x_n) dx_n。代入假设得 W_n(r) = ∫_0^r (r-x_n)^{n-1}/(n-1)! dx_n = [-(r-x_n)^n/(n!)]_0^r = r^n/n!。
公式：W_n(r) = r^n/n!
提示：利用归纳假设和变量替换。

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