新讲 第13章 重积分 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 设 ${B}_{n}\left( r\right)$ 表示半径为 $r$ 的 $n$ 维闭球体,试计算 ${B}_{n}\left( r\right)$ 的体积 ${V}_{n}\left( r\right)$ .

💡 答案解析

解 考察 $n = 1,2,3$ 的情形,可以猜测 ${V}_{n}\left( r\right)$ 具有如下形式的表示:

$$ {V}_{n}\left( r\right) = {\alpha }_{n}{r}^{n}. $$

我们来证明这公式并推导系数 ${\alpha }_{n}$ 的递推关系. 显然有

$$ {V}_{1}\left( r\right) = {2r},\;{\alpha }_{1} = 2. $$

对一般情形有

$$ {V}_{n}\left( r\right) = {\int }_{-r}^{r}\mathrm{\;d}{x}_{n}\mathop{\int }\limits_{{{B}_{n - 1}\left( \sqrt{{r}^{2} - {x}_{n}^{2}}\right) }}\mathrm{\;d}\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n - 1}}\right) $$

$$ = {\int }_{-r}^{r}{\alpha }_{n - 1}{\left( {r}^{2} - {x}_{n}^{2}\right) }^{\frac{n - 1}{2}}\mathrm{\;d}{x}_{n} $$

$$ = 2{\alpha }_{n - 1}{\int }_{0}^{r}{\left( {r}^{2} - {x}_{n}^{2}\right) }^{\frac{n - 1}{2}}\mathrm{\;d}{x}_{n} $$

$$ = \left( {2{\alpha }_{n - 1}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}t\mathrm{\;d}t}\right) {r}^{n} $$

$$ = {\alpha }_{n}{r}^{n}\text{ . } $$

我们看到: 系数 ${\alpha }_{n}$ 满足递推关系

$$ {\alpha }_{n} = 2{\alpha }_{n - 1}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}t\mathrm{\;d}t,\;{\alpha }_{1} = 2. $$

从这递推关系可以求得

$$ {\alpha }_{n} = {2}^{n}{\beta }_{n}{\beta }_{n - 1}\cdots {\beta }_{1}, $$

其中 ${\beta }_{m}$ 表示积分

$$ {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{m}t\mathrm{\;d}t $$

根据第九章 §6 中的计算,

$$ {\beta }_{m} = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\left( {m - 1}\right) !!}{m!!}, & \text{ 对奇数 }m, \\ \frac{\left( {m - 1}\right) !!}{m!!} \cdot \frac{\pi }{2}, & \text{ 对偶数 }m. \end{array}\right. $$

我们求得:

$$ {\alpha }_{1} = 2,\;{\alpha }_{2} = \pi ,\;{\alpha }_{3} = \frac{4}{3}\pi , $$

$$ {\alpha }_{4} = \frac{1}{2}{\pi }^{2},\;{\alpha }_{5} = \frac{8}{15}{\pi }^{2},\;\cdots ; $$

$$ {V}_{1}\left( r\right) = {2r},\;{V}_{2}\left( r\right) = \pi {r}^{2},\;{V}_{3}\left( r\right) = \frac{4}{3}\pi {r}^{3}, $$

$$ {V}_{4}\left( r\right) = \frac{1}{2}{\pi }^{2}{r}^{4},\;{V}_{5}\left( r\right) = \frac{8}{15}{\pi }^{2}{r}^{5},\;\cdots . $$

${\alpha }_{n}$ 与 ${V}_{n}\left( r\right)$ 的一般表示式为:

$$ {\alpha }_{2k} = {2}^{2k}\frac{1}{\left( {2k}\right) !!}{\left( \frac{\pi }{2}\right) }^{k} = \frac{{\pi }^{k}}{k!}, $$

$$ {\alpha }_{{2k} + 1} = {2}^{{2k} + 1}\frac{1}{\left( {{2k} + 1}\right) !!}{\left( \frac{\pi }{2}\right) }^{k} $$

$$ = \frac{{2}^{k + 1}{\pi }^{k}}{\left( {{2k} + 1}\right) !!}; $$

$$ {V}_{2k}\left( r\right) = \frac{{\pi }^{k}}{k!}{r}^{2k}, $$

$$ {V}_{{2k} + 1}\left( r\right) = \frac{{2}^{k + 1}{\pi }^{k}}{\left( {{2k} + 1}\right) !!}{r}^{{2k} + 1}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：猜测体积公式形式
通过考察 n=1,2,3 的情形，猜测 n 维闭球体体积具有形式 V_n(r) = α_n r^n。
公式：V_n(r) = α_n r^n
提示：注意 n=1 时 V_1(r)=2r，故 α_1=2。
步骤 2/6
目标：建立递推关系
利用积分将 n 维球体体积表示为对 x_n 的积分，其中被积函数是 n-1 维球体体积。通过变量代换 x_n = r sin t 得到递推关系。
公式：V_n(r) = ∫_{-r}^r α_{n-1} (r^2 - x_n^2)^{(n-1)/2} dx_n = 2α_{n-1} ∫_0^r (r^2 - x_n^2)^{(n-1)/2} dx_n = (2α_{n-1} ∫_0^{π/2} sin^n t dt) r^n
提示：令 x_n = r sin t，则 dx_n = r cos t dt，且 (r^2 - x_n^2)^{(n-1)/2} = r^{n-1} cos^{n-1} t，积分限 t 从 0 到 π/2。
步骤 3/6
目标：推导系数递推公式
由 V_n(r) = α_n r^n 与上一步结果比较，得 α_n = 2α_{n-1} ∫_0^{π/2} sin^n t dt，且 α_1=2。
公式：α_n = 2α_{n-1} β_n，其中 β_n = ∫_0^{π/2} sin^n t dt
提示：β_n 是 Wallis 积分，有递推公式 β_n = (n-1)/n β_{n-2}。
步骤 4/6
目标：计算 Wallis 积分 β_n
根据奇偶性给出 β_n 的显式表达式：当 m 为奇数时，β_m = (m-1)!! / m!!；当 m 为偶数时，β_m = (m-1)!! / m!! * π/2。
公式：β_m = { (m-1)!!/m!!, m odd; (m-1)!!/m!! * π/2, m even }
提示：双阶乘定义：n!! = n(n-2)(n-4)...，注意 0!!=1。
步骤 5/6
目标：计算前几个 α_n 和 V_n(r)
利用递推公式计算 α_1=2, α_2=π, α_3=4π/3, α_4=π^2/2, α_5=8π^2/15，从而得到 V_n(r)。
公式：α_2=π, α_3=4π/3, α_4=π^2/2, α_5=8π^2/15
提示：注意 α_n 的递推计算：α_2 = 2α_1 β_2 = 2*2*(π/4)=π；α_3 = 2α_2 β_3 = 2π*(2/3)=4π/3。
步骤 6/6
目标：给出一般公式
分奇偶给出 α_n 和 V_n(r) 的闭式表达式：当 n=2k 时，α_{2k}=π^k/k!，V_{2k}(r)=π^k r^{2k}/k!；当 n=2k+1 时，α_{2k+1}=2^{k+1}π^k/(2k+1)!!，V_{2k+1}(r)=2^{k+1}π^k r^{2k+1}/(2k+1)!!。
公式：α_{2k}=π^k/k!, α_{2k+1}=2^{k+1}π^k/(2k+1)!!
提示：注意 (2k)!! = 2^k k!，可用于化简。

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