新讲 第13章 重积分 第1题
📝 题目
例 1 设 (一元) 函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 连续,则有
$$ {\iint }_{\left| x\right| + \left| y\right| \leq 1}f\left( {x + y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{-1}^{1}f\left( u\right) \mathrm{d}u. $$
💡 答案解析
解 上式左边的二重积分,其积分区域 $D$ 由四条直线 $x \pm y = \pm 1$ 围成 (图 13-8). 这提示我们做变元替换
$$ \left\{ {\begin{array}{l} x + y = u, \\ x - y = v \end{array}\;\text{ 即 }\;\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{u + v}{2}, \\ y = \frac{u - v}{2}. \end{array}\right. }\right. $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/062.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 13-8
变换的雅可比行列式很容易计算:
$$ \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) } = \frac{1}{\frac{\partial \left( {u,v}\right) }{\partial \left( {x,y}\right) }} = - \frac{1}{2}. $$
通过变元替换, 我们得到
$$ {\iint }_{\left| x\right| + \left| y\right| \leq 1}f\left( {x + y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = \frac{1}{2}{\iint }_{\left| u\right| \leq 1,\left| v\right| \leq 1}f\left( u\right) \mathrm{d}\left( {u,v}\right) $$
$$ = \frac{1}{2}{\int }_{-1}^{1}\left( {{\int }_{-1}^{1}f\left( u\right) \mathrm{d}v}\right) \mathrm{d}u $$
$$ = {\int }_{-1}^{1}f\left( u\right) \mathrm{d}u. $$
注记 在