新讲 第2章 极 限 第2题
📝 题目
例 2 设 ${x}_{1} = \sqrt{2},{x}_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{2}},\cdots ,{x}_{n} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2}}}(n$ 重根号),... 试求 $\displaystyle{\lim {x}_{n}}$ .
💡 答案解析
解 序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 是递增的:
$$ {x}_{n + 1} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}\left( {n + 1\text{ 重根号 }}\right) $$
$$ > \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2 + 0}}}\text{ ( }n\text{ 重根号) } $$
$$ = {x}_{n},\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
我们用归纳法证明序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 有上界 2. 首先,显然有 ${x}_{1} = \sqrt{2} < 2$ . 其次,如果 ${x}_{n} < 2$ ,那么 ${x}_{n + 1} = \sqrt{2 + {x}_{n}} < 2$ . 这证明了
$$ {x}_{n} < 2,\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
根据单调收敛原理可设
$$ \lim {x}_{n} = a. $$
从等式
$$ {x}_{n + 1}^{2} - {x}_{n} - 2 = 0 $$
取极限得
$$ {a}^{2} - a - 2 = 0. $$
解此方程得 $a = 2$ 或 $a = - 1$ . 但显然应该有 $a \geq 0$ ,所以
$$ \lim {x}_{n} = a = 2. $$