新讲 第13章 重积分 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 考察抛物线 ${y}^{2} = {\alpha x},{y}^{2} = {\beta x},{x}^{2} = {\gamma y}$ 和 ${x}^{2} = {\delta y}$ $\left( {0 < \alpha < \beta ,0 < \gamma < \delta }\right)$ . 设 $D$ 是由这四条抛物线围成的闭区域,试计算:

(1) $D$ 的面积 $\sigma \left( D\right)$ ；

(2) $I = {\iint }_{D}{xy}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)$ ;

(3) $J = {\iint }_{D}\frac{1}{xy}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)$ .

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图 13-9

💡 答案解析

解 闭区域 $D$ 的形状 (参看图 13-9) 提示我们做变换

$$ \psi : \left\{ \begin{array}{l} u = \frac{{y}^{2}}{x}, \\ v = \frac{{x}^{2}}{y}. \end{array}\right. $$

计算变换的雅可比行列式得

$$ \frac{\partial \left( {u,v}\right) }{\partial \left( {x,y}\right) } = \left| \begin{matrix} - \frac{{y}^{2}}{{x}^{2}} & \frac{2y}{x} \\ \frac{2x}{y} & - \frac{{x}^{2}}{{y}^{2}} \end{matrix}\right| = - 3, $$

$$ \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) } = - \frac{1}{3}. $$

通过变元替换, 我们得到

$$ \sigma \left( D\right) = {\iint }_{D}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) = \frac{1}{3}{\int }_{a}^{\beta }\mathrm{d}u{\int }_{\gamma }^{\delta }\mathrm{d}v $$

$$ = \frac{1}{3}\left( {\beta - \alpha }\right) \left( {\delta - \gamma }\right) . $$

$$ I = {\iint }_{D}{xy}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) = \frac{1}{3}{\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}u{\int }_{\gamma }^{\delta }{uv}\mathrm{\;d}v $$

$$ = \frac{1}{12}\left( {{\beta }^{2} - {\alpha }^{2}}\right) \left( {{\delta }^{2} - {\gamma }^{2}}\right) . $$

$$ J = {\iint }_{D}\frac{1}{xy}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) $$

$$ = \frac{1}{3}{\int }_{a}^{\beta }\mathrm{d}u{\int }_{\gamma }^{\delta }\frac{1}{uv}\mathrm{\;d}v $$

$$ = \frac{1}{3}\ln \frac{\beta }{\alpha } \cdot \ln \frac{\delta }{\gamma }. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：引入变量变换简化积分区域
观察区域由四条抛物线围成，提示做变换 u = y^2/x, v = x^2/y。
公式：u = y^2/x, v = x^2/y
提示：变换的选择应使边界曲线变为直线。
步骤 2/6
目标：计算雅可比行列式
计算变换的雅可比行列式 ∂(u,v)/∂(x,y) = | -y^2/x^2, 2y/x; 2x/y, -x^2/y^2 | = -3，因此 ∂(x,y)/∂(u,v) = -1/3。
公式：∂(x,y)/∂(u,v) = -1/3
提示：雅可比行列式的绝对值用于面积元变换。
步骤 3/6
目标：确定新变量u,v的取值范围
由原曲线方程，u从α到β，v从γ到δ。
公式：α ≤ u ≤ β, γ ≤ v ≤ δ
提示：注意α<β, γ<δ。
步骤 4/6
目标：计算面积σ(D)
面积 σ(D) = ∬_D dxdy = ∬_{[α,β]×[γ,δ]} |∂(x,y)/∂(u,v)| du dv = (1/3) ∫_α^β du ∫_γ^δ dv = (1/3)(β-α)(δ-γ)。
公式：σ(D) = (1/3)(β-α)(δ-γ)
提示：注意雅可比行列式的绝对值。
步骤 5/6
目标：计算积分I = ∬_D xy dxdy
xy = (y^2/x)*(x^2/y) = uv，所以 I = ∬_D xy dxdy = ∬_{[α,β]×[γ,δ]} uv * (1/3) du dv = (1/3) ∫_α^β u du ∫_γ^δ v dv = (1/12)(β^2-α^2)(δ^2-γ^2)。
公式：I = (1/12)(β^2-α^2)(δ^2-γ^2)
提示：将xy用u,v表示。
步骤 6/6
目标：计算积分J = ∬_D 1/(xy) dxdy
1/(xy) = 1/(uv)，所以 J = ∬_D 1/(xy) dxdy = ∬_{[α,β]×[γ,δ]} (1/(uv)) * (1/3) du dv = (1/3) ∫_α^β du/u ∫_γ^δ dv/v = (1/3) ln(β/α) ln(δ/γ)。
公式：J = (1/3) ln(β/α) ln(δ/γ)
提示：注意对数积分。

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