新讲 第13章 重积分 第5题
📝 题目
例 5 设 (一元) 函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 连续,试证
$$ {\iint }_{{x}^{2} + {y}^{2} \leq 1}f\left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = \pi {\int }_{0}^{1}f\left( u\right) \mathrm{d}u. $$
💡 答案解析
解 采用极坐标变换
$$ \varphi : \left\{ \begin{array}{l} x = r\cos \theta , \\ y = r\sin \theta \end{array}\right. $$
就可以把
$$ E = \{ \left( {r,\theta }\right) \mid 0 \leq r \leq 1,0 \leq \theta \leq {2\pi }\} $$
变成
$$ D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} \leq 1}\right\} . $$
计算变换 $\varphi$ 的雅可比行列式得
$$ \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {r,\theta }\right) } = \left| \begin{matrix} \cos \theta & - r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{matrix}\right| = r. $$
在整个 $\left( {r,\theta }\right)$ 平面上,映射 $\varphi$ 是连续可微的. 在 $E$ 的内部有:
(1) $\det \mathrm{D}\varphi \left( {r,\theta }\right) = r > 0$ ；
(2) $\varphi$ 是单一的.
验证了这些条件之后,我们确信可以用 $\varphi$ 来做变元替换. 于是得到
$$ {\iint }_{D}f\left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{1}f\left( {r}^{2}\right) r\mathrm{\;d}r $$
$$ = \pi {\int }_{0}^{1}f\left( u\right) \mathrm{d}u. $$
注记 极坐标表示的面积微元为
$$ \left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {r,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}r\mathrm{\;d}\theta = r\mathrm{\;d}r\mathrm{\;d}\theta . $$
请参看图 13-13.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/067.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 13-13