新讲 第13章 重积分 第7题
📝 题目
例 7 球体 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} \leq {a}^{2}$ 被圆柱面 ${x}^{2} + {y}^{2} = {ax}$ 所割,试计算割下那部分立体的体积 $V$ . [17 世纪意大利数学家维维安尼 (Vivi-ani) 曾提出过类似的问题. 所以该立体又被称为维维安尼立体. ]
💡 答案解析
解 利用对称性 (参看图 13-14), 所求的体积可以表示为
$$ V = 4{\iint }_{D}\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2} - {y}^{2}}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) , $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/068.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 13-14
其中的 $D$ 是 ${OXY}$ 平面上第一象限内的半圆
$$ {x}^{2} + {y}^{2} \leq {ax},\;y \geq 0. $$
做极坐标变换, 我们得到
$$ V = 4{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{\;d}\theta {\int }_{0}^{a\cos \theta }\sqrt{{a}^{2} - {r}^{2}}r\mathrm{\;d}r $$
$$ = \frac{4}{3}{a}^{3}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left( {1 - {\sin }^{3}\theta }\right) \mathrm{d}\theta $$
$$ = \frac{4}{3}{a}^{3}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{2}{3}}\right) $$
$$ = \frac{2}{3}\pi {a}^{3} - \frac{8}{9}{a}^{3}. $$