新讲 第14章 微分学的几何应用 第2题
📝 题目
例 2 某段曲线为直线段的充要条件是: 在这段曲线上曲率处处为 0 , 即
$$ k \equiv 0\text{ . } $$
💡 答案解析
证明 如果某段曲线为直线段, 那么这段曲线以弧长为参数的方程可以写成
$$ r = {r}_{0} + {se},\;s \in I. $$
这里 $\mathbf{e}$ 是长度为 1 的常向量. 将上面的方程微分两次就得到
$$ \ddot{r} \equiv 0\text{ . } $$
因而
$$ k\left( s\right) = \parallel \ddot{\mathbf{r}}\left( s\right) \parallel = 0,\;\forall s \in I. $$
这证明了条件的必要性.
再来证明条件的充分性. 假设
$$ k\left( s\right) = \parallel \ddot{\mathbf{r}}\left( s\right) \parallel = 0,\;\forall s \in I, $$
则有
$$ \ddot{\mathbf{r}}\left( s\right) = \mathbf{0},\;\forall s \in I. $$
于是
$$ \dot{\mathbf{r}}\left( s\right) = \mathbf{e}\;\text{ (常向量). } $$
由此又得到
$$ \mathbf{r}\left( s\right) = {\mathbf{r}}_{0} + s\mathbf{e},\;s \in I. $$
这证明了条件的充分性.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明必要性：若曲线为直线段，则曲率处处为0
设直线段以弧长s为参数，方程为 r = r0 + s e，其中e是单位常向量。求导得 ṙ = e，再求导得 r̈ = 0。因此曲率 k(s) = ||r̈(s)|| = 0。
公式：r(s) = r0 + s e, k(s) = ||r̈(s)||
提示：直线段参数方程中，二阶导数为零向量。
步骤 2/2
目标：证明充分性：若曲率处处为0，则曲线为直线段
假设 k(s) = ||r̈(s)|| = 0，则 r̈(s) = 0。积分得 ṙ(s) = e（常向量），再积分得 r(s) = r0 + s e，即为直线段。
公式：r̈(s) = 0 ⇒ ṙ(s) = e ⇒ r(s) = r0 + s e
提示：二阶导数为零推出一次函数。
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