新讲 第15章 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第2题
📝 题目
例 2 试计算球面
$$ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2} $$
被围在柱面
$$ {x}^{2} + {y}^{2} = {ax} $$
之内的那一部分的面积.
💡 答案解析
解 由于对称性, 所求的面积为其在第一卦限内的部分的 4 倍. 仍用
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定积分区域和对称性
由于球面和柱面都关于x轴对称，且柱面方程x^2+y^2=ax可化为(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2，因此所求面积是第一卦限内面积的4倍。
提示：利用对称性简化计算，只考虑第一卦限。
步骤 2/7
目标：写出球面面积元素
球面方程z=√(a^2-x^2-y^2)（取上半球面），面积元素dS=√(1+z_x^2+z_y^2)dxdy，其中z_x=-x/√(a^2-x^2-y^2)，z_y=-y/√(a^2-x^2-y^2)，计算得dS=a/√(a^2-x^2-y^2) dxdy。
公式：dS = a / √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy
提示：注意球面方程取正号，因为第一卦限z>0。
步骤 3/7
目标：确定积分区域D
积分区域D是柱面x^2+y^2=ax在xy平面上的投影，且在第一卦限内，x≥0,y≥0。柱面方程化为(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2，故D: 0≤x≤a, 0≤y≤√(ax-x^2)。
提示：注意x的范围：由x^2+y^2=ax得x≥0，且当y=0时x=0或x=a，所以x∈[0,a]。
步骤 4/7
目标：写出面积积分表达式
所求面积A=4∬_D dS = 4∬_D a/√(a^2-x^2-y^2) dxdy，其中D: 0≤x≤a, 0≤y≤√(ax-x^2)。
公式：A = 4a ∬_D 1/√(a^2-x^2-y^2) dxdy
提示：注意4倍因子。
步骤 5/7
目标：化为极坐标计算
令x=r cosθ, y=r sinθ，则dxdy=r dr dθ。柱面方程x^2+y^2=ax化为r^2=ar cosθ，即r=a cosθ。由于第一卦限，θ从0到π/2，r从0到a cosθ。被积函数1/√(a^2-r^2)。
公式：A = 4a ∫_{θ=0}^{π/2} ∫_{r=0}^{a cosθ} r/√(a^2-r^2) dr dθ
提示：注意r的积分上限a cosθ。
步骤 6/7
目标：计算内层积分
计算∫ r/√(a^2-r^2) dr = -√(a^2-r^2)，代入上下限得：-√(a^2-a^2 cos^2θ) + √(a^2-0) = -a sinθ + a = a(1-sinθ)。
公式：∫ r/√(a^2-r^2) dr = -√(a^2-r^2)
提示：注意积分结果的正负号。
步骤 7/7
目标：计算外层积分
A = 4a ∫_{0}^{π/2} a(1-sinθ) dθ = 4a^2 ∫_{0}^{π/2} (1-sinθ) dθ = 4a^2 [θ + cosθ]_{0}^{π/2} = 4a^2 (π/2 + 0 - 0 - 1) = 4a^2 (π/2 - 1) = 2a^2 (π - 2)。
公式：∫ (1-sinθ) dθ = θ + cosθ
提示：注意积分限代入。
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