新讲 第15章 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第3题
📝 题目
例 3 试计算双曲抛物面 $z = {xy}$ 被围在圆柱面 ${x}^{2} + {y}^{2} = {a}^{2}$ 内的那一部分的面积.
💡 答案解析
解 计算得
$$ p = \frac{\partial z}{\partial x} = y,\;q = \frac{\partial z}{\partial y} = x, $$
$$ \sqrt{{p}^{2} + {q}^{2} + 1} = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2} + 1}. $$
于是
$$ \sigma \left( S\right) = {\iint }_{{x}^{2} + {y}^{2} \leq {a}^{2}}\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2} + 1}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y. $$
换极坐标计算得到
$$ \sigma \left( S\right) = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{a}\sqrt{{r}^{2} + 1}r\mathrm{\;d}r $$
$$ = \frac{2\pi }{3}\left\lbrack {{\left( {a}^{2} + 1\right) }^{3/2} - 1}\right\rbrack . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算偏导数
对函数 z = xy 分别求关于 x 和 y 的偏导数，得到 p = ∂z/∂x = y，q = ∂z/∂y = x。
公式：p = y, q = x
提示：注意偏导数的计算要准确。
步骤 2/5
目标：计算被积函数
曲面面积公式中的被积函数为 √(1 + p² + q²)，代入 p 和 q 得 √(1 + y² + x²) = √(x² + y² + 1)。
公式：√(1 + p² + q²) = √(x² + y² + 1)
提示：确保平方和正确。
步骤 3/5
目标：建立面积积分
曲面 S 在 xy 平面上的投影区域为圆盘 D: x² + y² ≤ a²，因此面积 σ(S) = ∬_D √(x² + y² + 1) dx dy。
公式：σ(S) = ∬_{x²+y²≤a²} √(x²+y²+1) dx dy
提示：投影区域是圆柱面所围区域。
步骤 4/5
目标：转换为极坐标
令 x = r cosθ, y = r sinθ，则 dx dy = r dr dθ，被积函数变为 √(r²+1)，积分区域为 0≤θ≤2π, 0≤r≤a。
公式：σ(S) = ∫₀²π dθ ∫₀ᵃ √(r²+1) r dr
提示：极坐标变换时不要忘记雅可比行列式 r。
步骤 5/5
目标：计算积分
先对 r 积分：∫₀ᵃ √(r²+1) r dr，令 u = r²+1，则 du = 2r dr，积分变为 (1/2)∫₁^{a²+1} √u du = (1/3)[(a²+1)^{3/2} - 1]。再对 θ 积分得 2π，相乘得 (2π/3)[(a²+1)^{3/2} - 1]。
公式：σ(S) = (2π/3)[(a²+1)^{3/2} - 1]
提示：注意换元后积分限的变化。
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