新讲 第15章 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第4题
📝 题目
例 4 问以下两积分相差多少:
$$ I = {\iint }_{S}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma , $$
$$ J = {\iint }_{P}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma , $$
这里
$$ S = \left\{ {\left( {x,y,z}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}}\right\} , $$
$$ P = \{ \left( {x,y,z}\right) \left| \right| x\left| +\right| y\left| +\right| z \mid = a\} . $$
💡 答案解析
解 根据曲面积分的定义, 很容易求出第一个积分
$$ I = {\iint }_{S}{a}^{2}\mathrm{\;d}\sigma = {4\pi }{a}^{4}. $$
利用对称性可以简化第二个积分的计算:
$$ J = 8{\iint }_{{P}_{1}}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma , $$
这里的 ${P}_{1}$ 是 $P$ 在第一卦限的那一部分,这部分曲面可以用显式方程表示为
$$ z = a - x - y,\;\left( {x,y}\right) \in {\Delta }_{1}, $$
$$ {\Delta }_{1} = \{ \left( {x,y}\right) \mid x,y \geq 0,x + y \leq a\} . $$
计算得
$$ p = \frac{\partial z}{\partial x} = - 1,\;q = \frac{\partial z}{\partial y} = - 1, $$
$$ \sqrt{{p}^{2} + {q}^{2} + 1} = \sqrt{3}. $$
于是得到
$$ J = 8\sqrt{3}{\iint }_{{\Delta }_{1}}\left\lbrack {{x}^{2} + {y}^{2} + {\left( a - x - y\right) }^{2}}\right\rbrack \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ = 8\sqrt{3}{\iint }_{{\Delta }_{1}}{x}^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y + {\iint }_{{\Delta }_{1}}{y}^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ \left. {+{\iint }_{{\Delta }_{1}}{\left( a - x - y\right) }^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y}\right\rbrack \text{ . } $$
直接计算得
$$ {\iint }_{{\Delta }_{1}}{x}^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = {\iint }_{{\Delta }_{1}}{y}^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ = {\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{a - x}{y}^{2}\mathrm{\;d}y = \frac{1}{12}{a}^{4}, $$
$$ {\iint }_{{\Delta }_{1}}{\left( a - x - y\right) }^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ = {\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{a - x}{\left( a - x - y\right) }^{2}\mathrm{\;d}y $$
$$ = \frac{1}{3}{\int }_{0}^{a}{\left( a - x\right) }^{3}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{12}{a}^{4}. $$
我们得到
$$ J = 2\sqrt{3}{a}^{4}, $$
因而
$$ I - J = 2\left( {{2\pi } - \sqrt{3}}\right) {a}^{4}. $$