新讲 第2章 极 限 第7题
📝 题目
例 7 设 $q \in \mathbb{R},\left| q\right| < 1$ ,
$$ {x}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{q}^{k - 1} = 1 + q + \cdots + {q}^{n - 1} $$
$$ \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \text{ . } $$
试证序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 收敛.
💡 答案解析
证明 我们有
$$ \left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| \leq {\left| q\right| }^{n} + \cdots + {\left| q\right| }^{n + p - 1} $$
$$ = {\left| q\right| }^{n}\left( {1 + \cdots + {\left| q\right| }^{p - 1}}\right) $$
$$ = {\left| q\right| }^{n}\frac{1 - {\left| q\right| }^{p}}{1 - \left| q\right| } $$
$$ \leq \frac{{\left| q\right| }^{n}}{1 - \left| q\right| }\text{ . } $$
我们已经知道 $\displaystyle{\lim {\left| q\right| }^{n} = 0}$ (参看 §1 中的
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明序列{x_n}是柯西序列
对于任意正整数n和p，考虑|x_{n+p} - x_n|。由于x_n = 1 + q + ... + q^{n-1}，则x_{n+p} - x_n = q^n + q^{n+1} + ... + q^{n+p-1}。取绝对值并利用三角不等式，得到|x_{n+p} - x_n| ≤ |q|^n + |q|^{n+1} + ... + |q|^{n+p-1}。
公式：|x_{n+p} - x_n| ≤ |q|^n + |q|^{n+1} + ... + |q|^{n+p-1}
提示：注意q的绝对值小于1，因此|q|^n递减。
步骤 2/3
目标：将不等式右边求和并放缩
将右边求和：|q|^n + ... + |q|^{n+p-1} = |q|^n (1 + |q| + ... + |q|^{p-1})。利用等比数列求和公式，1 + |q| + ... + |q|^{p-1} = (1 - |q|^p)/(1 - |q|)。由于|q|^p > 0，有(1 - |q|^p)/(1 - |q|) ≤ 1/(1 - |q|)。因此|x_{n+p} - x_n| ≤ |q|^n / (1 - |q|)。
公式：|x_{n+p} - x_n| ≤ |q|^n / (1 - |q|)
提示：放缩时利用了分子1 - |q|^p ≤ 1。
步骤 3/3
目标：利用极限性质证明收敛
由于|q| < 1，已知lim_{n→∞} |q|^n = 0。因此对于任意ε > 0，存在N使得当n > N时，|q|^n < ε(1 - |q|)。从而对于任意p，有|x_{n+p} - x_n| < ε。这说明{x_n}是柯西序列，因此在实数域中收敛。
公式：lim_{n→∞} |q|^n = 0
提示：柯西收敛准则：实数序列收敛当且仅当它是柯西序列。
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