新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第5题
📝 题目
例 5 试计算与上例类似的积分
$$ J = \frac{1}{3}{\iint }_{\Gamma }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, $$
这里 $\Gamma$ 是如下的长方体的表面,约定以外侧为正侧:
$$ \left| x\right| \leq a,\;\left| y\right| \leq b,\;\left| z\right| \leq c. $$
💡 答案解析
解 长方体的外表面 $\Gamma$ 由六块侧面 ${\Gamma }_{1},{\Gamma }_{2},\cdots ,{\Gamma }_{6}$ 拼接而成,这里
$$ {\Gamma }_{1} : x = a,\left| y\right| \leq b,\left| z\right| \leq c, $$
$$ {\Gamma }_{2} : x = - a,\left| y\right| \leq b,\left| z\right| \leq c, $$
$$ {\Gamma }_{3} : \left| x\right| \leq a,y = b,\left| z\right| \leq c, $$
$$ {\Gamma }_{4} : \left| x\right| \leq a,y = - b,\left| z\right| \leq c, $$
$$ {\Gamma }_{5} : \left| x\right| \leq a,\left| y\right| \leq b,z = c, $$
$$ {\Gamma }_{6} : \left| x\right| \leq a,\left| y\right| \leq b,z = - c. $$
在侧面 ${\Gamma }_{1}$ 上, $\mathbf{n} = \left( {1,0,0}\right) ,x = a$ ,因而
$$ \frac{1}{3}{\iint }_{{\Gamma }_{1}}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ = \frac{1}{3}{\iint }_{{\Gamma }_{1}}a\mathrm{\;d}\sigma = \frac{4}{3}{abc}. $$
同样可得
$$ \frac{1}{3}{\iint }_{{\Gamma }_{i}}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ = \frac{4}{3}{abc},i = 2,3,\cdots ,6. $$
最后, 我们得到
$$ J = 6 \times \frac{4}{3}{abc} = {8abc}. $$