新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 试计算积分

$$ K = \frac{1}{3}{\iint }_{\Lambda }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, $$

这里 $\Lambda$ 是以下椭球面的外侧:

$$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} = 1 $$

💡 答案解析

解 我们引入椭球面 $\Lambda$ 的参数表示:

$$ \mathbf{r} = \left( {a\cos \theta \cos \varphi ,b\sin \theta \cos \varphi ,c\sin \varphi }\right) , $$

$$ \left( {\theta ,\varphi }\right) \in D = \left\{ {0 \leq \theta \leq {2\pi }, - \frac{\pi }{2} \leq \varphi \leq \frac{\pi }{2}}\right\} . $$

计算得

$$ {\mathbf{r}}_{\theta } = \left( {-a\sin \theta \cos \varphi ,b\cos \theta \cos \varphi ,0}\right) , $$

$$ {\mathbf{r}}_{\varphi } = \left( {-a\cos \theta \sin \varphi , - b\sin \theta \sin \varphi ,c\cos \varphi }\right) , $$

$$ {\mathbf{r}}_{\theta } \times {\mathbf{r}}_{\varphi } = \left( {{bc}\cos \theta {\cos }^{2}\varphi ,{ac}\sin \theta {\cos }^{2}\varphi ,{ab}\cos \varphi \sin \varphi }\right) , $$

$$ A = {bc}\cos \theta {\cos }^{2}\varphi , $$

$$ B = {ac}\sin \theta {\cos }^{2}\varphi , $$

$$ C = {ab}\cos \varphi \sin \varphi . $$

于是有

$$ K = \frac{1}{3}{\iint }_{D}{abc}\left( {{\cos }^{2}\theta {\cos }^{3}\varphi + {\sin }^{2}\theta {\cos }^{3}\varphi + \cos \varphi {\sin }^{2}\varphi }\right) \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi $$

$$ = \frac{1}{3}{abc}{\iint }_{D}\cos \varphi \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi $$

$$ = \frac{4}{3}{\pi abc}. $$

在上面几例中, 我们看到, 积分

$$ \frac{1}{3}{\iint }_{S}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y $$

正好等于闭曲面 $S$ 所围的体积. 这实际上是一个普遍成立的事实. 我们将在后面给予证明.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：引入椭球面的参数表示
设椭球面参数方程为：x = a cosθ cosφ, y = b sinθ cosφ, z = c sinφ，其中θ∈[0,2π], φ∈[-π/2, π/2]。
公式：r = (a cosθ cosφ, b sinθ cosφ, c sinφ)
提示：注意参数φ的范围是-π/2到π/2，对应椭球面的上下半球。
步骤 2/4
目标：计算切向量及法向量
计算r对θ和φ的偏导数：r_θ = (-a sinθ cosφ, b cosθ cosφ, 0)，r_φ = (-a cosθ sinφ, -b sinθ sinφ, c cosφ)。然后计算叉积得到法向量：r_θ × r_φ = (bc cosθ cos²φ, ac sinθ cos²φ, ab cosφ sinφ)。
公式：r_θ × r_φ = (bc cosθ cos²φ, ac sinθ cos²φ, ab cosφ sinφ)
提示：叉积的顺序影响法向量方向，这里得到的是外侧法向量。
步骤 3/4
目标：将曲面积分转化为二重积分
根据曲面积分公式，将x dy dz + y dz dx + z dx dy转化为标量场与法向量的点积：原积分K = (1/3)∬_Λ (x, y, z)·n dS，其中n为单位外法向量。利用参数化，dS = |r_θ × r_φ| dθ dφ，且n = (r_θ × r_φ)/|r_θ × r_φ|，所以(x, y, z)·n dS = (x, y, z)·(r_θ × r_φ) dθ dφ。代入得被积函数为：x·(bc cosθ cos²φ) + y·(ac sinθ cos²φ) + z·(ab cosφ sinφ) = abc(cos²θ cos³φ + sin²θ cos³φ + cosφ sin²φ) = abc cosφ。
公式：K = (1/3)∬_D abc cosφ dθ dφ
提示：注意化简时利用了cos²θ+sin²θ=1，以及cos³φ+cosφ sin²φ = cosφ(cos²φ+sin²φ)=cosφ。
步骤 4/4
目标：计算二重积分
积分区域D: θ∈[0,2π], φ∈[-π/2, π/2]。先对θ积分得2π，再对φ积分：∫_{-π/2}^{π/2} cosφ dφ = 2。所以K = (1/3)abc * 2π * 2 = (4/3)πabc。
公式：K = (4/3)πabc
提示：注意积分结果与椭球体积公式一致：椭球体积为(4/3)πabc。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第5题 返回列表 第9题 →