新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^{2}$ 中由一条或几条分段连续可微曲线围成的闭

区域. 试说明 $\Omega$ 的面积 $\sigma \left( \Omega \right)$ 可按以下各式计算:

$$ \sigma \left( \Omega \right) = {\oint }_{\mathrm{a}\Omega }x\mathrm{\;d}y = - {\oint }_{\mathrm{a}\Omega }y\mathrm{\;d}x $$

$$ = \frac{1}{2}{\oint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x. $$

💡 答案解析

解 根据格林公式, 我们有

$$ {\oint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y = {\iint }_{\Omega }\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = \sigma \left( \Omega \right) , $$

$$ - {\oint }_{\partial \Omega }y\mathrm{\;d}x = {\iint }_{\Omega }\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = \sigma \left( \Omega \right) , $$

$$ \frac{1}{2}{\oint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}{\iint }_{\Omega }\left( {1 + 1}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = \sigma \left( \Omega \right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：利用格林公式将第一式化为面积分
由格林公式，∮_{∂Ω} x dy = ∬_Ω (∂x/∂x - ∂0/∂y) dxdy = ∬_Ω 1 dxdy = σ(Ω)。
公式：格林公式：∮_{∂Ω} P dx + Q dy = ∬_Ω (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy
提示：取 P=0, Q=x，则 ∂Q/∂x=1, ∂P/∂y=0。
步骤 2/3
目标：利用格林公式将第二式化为面积分
由格林公式，-∮_{∂Ω} y dx = -∬_Ω (∂0/∂x - ∂y/∂y) dxdy = -∬_Ω (-1) dxdy = ∬_Ω 1 dxdy = σ(Ω)。
公式：格林公式：∮_{∂Ω} P dx + Q dy = ∬_Ω (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy
提示：取 P=-y, Q=0，则 ∂Q/∂x=0, ∂P/∂y=-1。
步骤 3/3
目标：利用格林公式将第三式化为面积分
由格林公式，1/2 ∮_{∂Ω} (x dy - y dx) = 1/2 ∬_Ω (∂x/∂x - ∂(-y)/∂y) dxdy = 1/2 ∬_Ω (1+1) dxdy = ∬_Ω 1 dxdy = σ(Ω)。
公式：格林公式：∮_{∂Ω} P dx + Q dy = ∬_Ω (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy
提示：取 P=-y, Q=x，则 ∂Q/∂x=1, ∂P/∂y=-1。

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