新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第7题
📝 题目
例 7 设 $\Omega$ 满足定理 2 中的条件,试说明 $\Omega$ 的体积可按以下任一式计算:
$$ V\left( \Omega \right) = {\oiint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y \land \mathrm{d}z = {\oiint }_{\partial \Omega }y\mathrm{\;d}z \land \mathrm{d}x $$
$$ = {\oiint }_{\partial \Omega }z\mathrm{\;d}x \land \mathrm{d}y $$
$$ = \frac{1}{3}{\oiint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y. $$
💡 答案解析
解 利用高斯公式就得到
$$ {\oiint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y \land \mathrm{d}z = {\iiint }_{\Omega }\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z = V\left( \Omega \right) . $$
其余几式可以类似地证明.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明第一式：V(Ω) = ∯_∂Ω x dy∧dz
应用高斯公式，将曲面积分转化为三重积分：∯_∂Ω x dy∧dz = ∭_Ω ∂x/∂x dV = ∭_Ω dV = V(Ω)。
公式：高斯公式：∯_∂Ω P dy∧dz + Q dz∧dx + R dx∧dy = ∭_Ω (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dV
提示：注意高斯公式中，dy∧dz对应P，dz∧dx对应Q，dx∧dy对应R。这里P=x，Q=0，R=0。
步骤 2/4
目标：证明第二式：V(Ω) = ∯_∂Ω y dz∧dx
类似地，应用高斯公式：∯_∂Ω y dz∧dx = ∭_Ω ∂y/∂y dV = ∭_Ω dV = V(Ω)。
公式：同上
提示：此时P=0，Q=y，R=0。
步骤 3/4
目标：证明第三式：V(Ω) = ∯_∂Ω z dx∧dy
应用高斯公式：∯_∂Ω z dx∧dy = ∭_Ω ∂z/∂z dV = ∭_Ω dV = V(Ω)。
公式：同上
提示：此时P=0，Q=0，R=z。
步骤 4/4
目标：证明第四式：V(Ω) = (1/3) ∯_∂Ω (x dy∧dz + y dz∧dx + z dx∧dy)
将三个积分相加：∯_∂Ω x dy∧dz + y dz∧dx + z dx∧dy = ∭_Ω (∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z) dV = ∭_Ω 3 dV = 3V(Ω)，因此除以3得V(Ω)。
公式：高斯公式的线性组合
提示：注意三个方向导数之和为3。
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