新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第2题
📝 题目
例 2 设有微分形式
$$ \omega = a\mathrm{\;d}x + b\mathrm{\;d}y + c\mathrm{\;d}z, $$
$$ \theta = A\mathrm{\;d}x + B\mathrm{\;d}y + C\mathrm{\;d}z, $$
试计算 $\omega \land \theta$ .
💡 答案解析
解 我们有
$$ \omega \land \theta = \left( {{aB} - {bA}}\right) \mathrm{d}x \land \mathrm{d}y $$
$$ + \left( {{bC} - {cB}}\right) \mathrm{d}y \land \mathrm{d}z $$
$$ + \left( {{cA} - {aC}}\right) \mathrm{d}z \land \mathrm{d}x $$
$$ = \left| \begin{array}{ll} a & b \\ A & B \end{array}\right| \mathrm{d}x \land \mathrm{d}y $$
$$ + \left| \begin{array}{ll} b & c \\ B & C \end{array}\right| \mathrm{d}y \land \mathrm{d}z $$
$$ + \left| \begin{array}{ll} c & a \\ C & A \end{array}\right| \mathrm{d}z \land \mathrm{d}x. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：展开外积
根据外积的分配律和反对称性，计算 ω∧θ = (a dx + b dy + c dz) ∧ (A dx + B dy + C dz)。展开后得到：aA dx∧dx + aB dx∧dy + aC dx∧dz + bA dy∧dx + bB dy∧dy + bC dy∧dz + cA dz∧dx + cB dz∧dy + cC dz∧dz。
公式：ω∧θ = Σ_i Σ_j (a_i dx_i) ∧ (A_j dx_j)
提示：注意 dx∧dx = 0，dy∧dy = 0，dz∧dz = 0，以及 dy∧dx = -dx∧dy 等反对称性。
步骤 2/4
目标：化简为零的项
由于 dx∧dx=0, dy∧dy=0, dz∧dz=0，去掉这些项。剩余项为：aB dx∧dy + aC dx∧dz + bA dy∧dx + bC dy∧dz + cA dz∧dx + cB dz∧dy。
公式：dx∧dx=0, dy∧dy=0, dz∧dz=0
提示：相同微分形式的楔积为零。
步骤 3/4
目标：合并同类项
利用反对称性：dy∧dx = -dx∧dy, dz∧dy = -dy∧dz, dx∧dz = -dz∧dx。整理得：aB dx∧dy - bA dx∧dy + bC dy∧dz - cB dy∧dz + cA dz∧dx - aC dz∧dx。合并系数： (aB - bA) dx∧dy + (bC - cB) dy∧dz + (cA - aC) dz∧dx。
公式：dy∧dx = -dx∧dy, dz∧dy = -dy∧dz, dx∧dz = -dz∧dx
提示：注意符号变化。
步骤 4/4
目标：表示为行列式形式
将系数写成行列式：aB - bA = det([[a,b],[A,B]])，bC - cB = det([[b,c],[B,C]])，cA - aC = det([[c,a],[C,A]])。因此 ω∧θ = det([[a,b],[A,B]]) dx∧dy + det([[b,c],[B,C]]) dy∧dz + det([[c,a],[C,A]]) dz∧dx。
公式：det([[a,b],[A,B]]) = aB - bA
提示：行列式形式便于记忆和计算。
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