新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第1题
📝 题目
例 1 求解方程
$$ {\mathrm{e}}^{y}\mathrm{\;d}x + \left( {x{\mathrm{e}}^{y} + {2y}}\right) \mathrm{d}y = 0. $$
💡 答案解析
解 将方程左端的微分式分成两组:
$$ \left( {{\mathrm{e}}^{y}\mathrm{\;d}x + x{\mathrm{e}}^{y}\mathrm{\;d}y}\right) + {2y}\mathrm{\;d}y = 0. $$
很容易看出:第一组微分式的一个原函数是 $x{\mathrm{e}}^{y}$ ,第二组微分式的一个原函数是 ${y}^{2}$ . 因而原方程左端微分式的一个原函数是
$$ x{\mathrm{e}}^{y} + {y}^{2}\text{ . } $$
原方程的通解 (通积分) 为
$$ x{\mathrm{e}}^{y} + {y}^{2} = C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将方程左端的微分式分组
将方程 e^y dx + (x e^y + 2y) dy = 0 的左端分成两组： (e^y dx + x e^y dy) + 2y dy = 0。
提示：分组时注意将含有相同因子的项放在一起，以便寻找原函数。
步骤 2/4
目标：找出每组微分式的原函数
第一组 e^y dx + x e^y dy 的一个原函数是 x e^y，因为 d(x e^y) = e^y dx + x e^y dy。第二组 2y dy 的一个原函数是 y^2，因为 d(y^2) = 2y dy。
公式：d(x e^y) = e^y dx + x e^y dy, d(y^2) = 2y dy
提示：验证原函数时，对候选函数求全微分，看是否等于被积表达式。
步骤 3/4
目标：写出原方程左端微分式的原函数
原方程左端微分式的一个原函数是两组原函数之和： x e^y + y^2。
提示：全微分方程的通解就是原函数等于常数。
步骤 4/4
目标：写出通解
原方程的通解（通积分）为 x e^y + y^2 = C，其中 C 为任意常数。
公式：x e^y + y^2 = C
提示：通解中常数 C 可以取任意实数值。
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