新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第5题
📝 题目
例 5 设 $M\left( {x,y}\right)$ 和 $N\left( {x,y}\right)$ 都是 $k$ 次齐次函数,则微分方程
$$ M\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + N\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = 0 $$
具有积分因子
$$ \mu = \frac{1}{{xM} + {yN}}, $$
这里设 ${xM} + {yN} \neq 0$ .
💡 答案解析
证明 首先, 引入记号
$$ P = \frac{M}{{xM} + {yN}},\;Q = \frac{N}{{xM} + {yN}}. $$
我们来证明
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}. $$
计算得
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{x\left( {M\frac{\partial N}{\partial x} - N\frac{\partial M}{\partial x}}\right) - {MN}}{{\left( xM + yN\right) }^{2}}, $$
$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y\left( {N\frac{\partial M}{\partial y} - M\frac{\partial N}{\partial y}}\right) - {MN}}{{\left( xM + yN\right) }^{2}}. $$
所得两式相减, 并利用恒等式 (7.9), 就得到
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 $$
因而,在任何单连通区域上, $P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y$ 都是恰当微分形式.