新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第6题
📝 题目
例 6 求解方程
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \frac{2xy}{{x}^{2} + {y}^{2}}. $$
💡 答案解析
解 上面的方程可以改写为
$$ {2xy}\mathrm{\;d}x - \left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \mathrm{d}y = 0. $$
由
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将方程改写为微分形式
将原方程 dy/dx = 2xy/(x^2+y^2) 两边乘以 dx 并移项，得到 2xy dx - (x^2+y^2) dy = 0。
公式：2xy dx - (x^2+y^2) dy = 0
提示：注意移项时符号变化。
步骤 2/6
目标：判断是否为恰当微分方程
设 M(x,y)=2xy，N(x,y)=-(x^2+y^2)。计算偏导数：∂M/∂y = 2x，∂N/∂x = -2x。由于 ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x，方程不是恰当的。
公式：∂M/∂y = 2x, ∂N/∂x = -2x
提示：恰当方程条件：∂M/∂y = ∂N/∂x。
步骤 3/6
目标：寻找积分因子
尝试寻找仅与 x 或 y 有关的积分因子。计算 (∂M/∂y - ∂N/∂x)/N = (2x - (-2x))/(-(x^2+y^2)) = 4x/(-(x^2+y^2))，不是仅 x 的函数。计算 (∂N/∂x - ∂M/∂y)/M = (-2x - 2x)/(2xy) = -4x/(2xy) = -2/y，是仅 y 的函数。因此积分因子 μ(y) = exp(∫(-2/y) dy) = exp(-2 ln|y|) = 1/y^2。
公式：μ(y) = 1/y^2
提示：积分因子公式：μ = exp(∫((∂N/∂x - ∂M/∂y)/M) dy) 或类似。
步骤 4/6
目标：乘以积分因子化为恰当方程
将原方程乘以 μ(y)=1/y^2，得到 (2x/y) dx - (x^2/y^2 + 1) dy = 0。此时 M' = 2x/y，N' = -(x^2/y^2+1)。验证：∂M'/∂y = -2x/y^2，∂N'/∂x = -2x/y^2，相等，方程变为恰当。
公式：(2x/y) dx - (x^2/y^2 + 1) dy = 0
提示：乘以积分因子后需验证恰当性。
步骤 5/6
目标：求解恰当微分方程
求函数 u(x,y) 使得 du = M' dx + N' dy。由 ∂u/∂x = 2x/y，积分得 u = x^2/y + φ(y)。对 y 求偏导：∂u/∂y = -x^2/y^2 + φ'(y) = N' = -(x^2/y^2+1)，所以 φ'(y) = -1，积分得 φ(y) = -y + C。因此 u = x^2/y - y = C。
公式：u = x^2/y - y = C
提示：积分时注意常数项是 y 的函数。
步骤 6/6
目标：写出通解
方程的通解为 x^2/y - y = C，即 x^2 - y^2 = C y，或写成 x^2 = y(C + y)。
公式：x^2 - y^2 = C y
提示：通解可写成隐式形式。
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