新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第7题
📝 题目
例 7 求解方程
$$ \left( {{x}^{2} + {y}^{2} - y}\right) \mathrm{d}x + x\mathrm{\;d}y = 0. $$
💡 答案解析
解 将这方程改写为
$$ \left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \mathrm{d}x + x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x = 0. $$
很容易看出一个积分因子
$$ \mu = \frac{1}{{x}^{2} + {y}^{2}}. $$
用这因子乘方程两边, 就得到
$$ \mathrm{d}x + \frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}} = 0. $$
我们求得原方程的通解
$$ x + \arctan \frac{y}{x} = C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：改写方程
将原方程 (x^2 + y^2 - y)dx + x dy = 0 改写为 (x^2 + y^2)dx + x dy - y dx = 0。
公式：(x^2 + y^2 - y)dx + x dy = 0 → (x^2 + y^2)dx + x dy - y dx = 0
提示：注意将 -y dx 项分离出来，以便后续寻找积分因子。
步骤 2/5
目标：寻找积分因子
观察改写后的方程，发现一个积分因子 μ = 1/(x^2 + y^2)。
公式：μ = 1/(x^2 + y^2)
提示：积分因子通常通过观察或计算得到，这里分母为 x^2+y^2 提示了该因子。
步骤 3/5
目标：乘以积分因子
用积分因子 μ 乘方程两边，得到 dx + (x dy - y dx)/(x^2 + y^2) = 0。
公式：dx + (x dy - y dx)/(x^2 + y^2) = 0
提示：注意 (x^2+y^2)dx 项乘以 μ 后变为 dx。
步骤 4/5
目标：识别全微分
注意到 (x dy - y dx)/(x^2 + y^2) 是 arctan(y/x) 的全微分，即 d(arctan(y/x))。
公式：d(arctan(y/x)) = (x dy - y dx)/(x^2 + y^2)
提示：回忆 arctan(y/x) 的微分公式。
步骤 5/5
目标：积分得到通解
对方程 dx + d(arctan(y/x)) = 0 积分，得到 x + arctan(y/x) = C。
公式：x + arctan(y/x) = C
提示：积分常数 C 为任意常数。
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